1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知a,b都是实数,那么“a3b3”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为a3b3,所以a3-b30,即(a-b)(a2+ab+b2)0.又因为a2+ab+b2=a+b22+3b240,所以a-b0,即ab,反之也成立,故选C.答案:C2.一长方体的长、宽、高分别为a,b,c且a+b+c=9,当长方体体积最大时,长方体的表面积为()A.27B.54C.52D.56解析:9=a+b+c33abc,abc27,当且仅当a=b=c=3时取最大值27,此
2、时其表面积为632=54.答案:B3.若集合A=x|2x-1|3,B=x2x+13-x0,则AB是()A.x-1x-12或2x3B.x|2x3C.x-12x2D.x-1x-12解析:A=x|2x-1|3=x|-32x-13=x|-1x2,B=x2x+13-x0=xx3或x-12,AB=x-1x|tan x+tan y|,且y,32,则|tan x-tan y|等于()A.tan x-tan yB.tan y-tan xC.tan x+tan yD.|tan y|-|tan x|解析:由|tan x|+|tan y|tan x+tan y|,知tan x与tan y异号,又y,32,tan y0
3、,tan x0得32x-(k+1)3x+20,解得k+122,k+122,即kbc2;acbc;a2b2.其中能分别成为ab的充分条件的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:ac2bc2ab,而ab不能推出ac2bc2,故ac2bc2是ab的充分条件;acbc不能推出ab,故不符合题意;a2b2不能推出ab,也不符合题意,综上所述只有符合题意.答案:B7.设mn,nN+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,x1,则a与b的大小关系为()A.abB.abC.与x值有关,大小不确定D.以上都不正确解析:a-b=lgmx+lg-mx-lgnx-lg-nx=(
4、lgmx-lgnx)-1lgnx-1lgmx=(lgmx-lgnx)-lgmx-lgnxlgmxlgnx=(lgmx-lgnx)1-1lgmxlgnx=(lgmx-lgnx)1-1lgm+nx.x1,lg x0.当0lg xb;当lg x=1时,a=b;当lg x1时,ab.故选A.答案:A8.用数学归纳法证恒等式1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN+)时,由n=k到n=k+1时,两边应同时加上()A.12k+1B.-12k+1C.12(k+1)D.12k+1-12k+2解析:左边含变量12n-1-12n,因此n=k+1时,应再加上12k+1-12k+2.
5、当n=k+1时,右边应加上12k+1+12k+2-1k+1=12k+1-12k+2.答案:D9.已知A,B,C是ABC的三内角的弧度数,则1A+1B+1C与9的大小关系为()A.1A+1B+1C9B.1A+1B+1C9C.1A+1B+1C9D.1A+1B+1C9解析:由柯西不等式,得1A+1B+1C(A+B+C)1AA+1BB+1CC2=9.又A+B+C=,1A+1B+1C9.当且仅当A=B=C=3时,等号成立.答案:A10.记满足下列条件的函数f(x)的集合为M,当|x1|1,|x2|1时,|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.令g(x)=x2+2x-1,则g(x)与M的关系是()A.
6、g(x)MB.g(x)MC.g(x)MD.不能确定解析:g(x1)-g(x2)=x12+2x1-x22-2x2=(x1-x2)(x1+x2+2),所以|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|x1+x2+2|x1-x2|(|x1|+|x2|+2)4|x1-x2|,所以g(x)M.答案:B二、填空题(每小题5分,共25分)11.已知存在实数x,使得不等式|x-3|-|x+2|3a-1|成立,则实数a的取值范围是.解析:|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=5,|3a-1|5,-43a2.答案:-43,212.已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相
7、垂直,则2a+3b的最小值为.解析:由两直线垂直,得2b-a(b-3)=0,b=3aa-2,2a+3b=2a+9aa-2=2a+9(a-2)+18a-2=2(a-2)+18a-2+1322(a-2)18a-2+13=25,当且仅当a=5,b=5时,等号成立.答案:2513.建造一个容积为8m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低造价是元.解析:设水池的造价为y元,池底的长为x m,则宽为4xm,y=4120+22x+8x80=480+320x+4x480+32024=1760.当且仅当x=4x,即x=2时取“=”号,则ym
8、in=1760.答案:176014.设数列an满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=42n-1-2的第二步中,设当n=k时结论成立,即ak=42k-1-2,那么当n=k+1时,.解析:当n=k+1时,把ak=42k-1-2代入ak+1=2ak+2中,得ak+1=42k-2,要将ak+1=42k-2变形为ak+1=42(k+1)-1-2的形式.答案:ak+1=42(k+1)-1-215.设x0.由题意,知ax+yx+y恒成立,则a必须大于或等于x+yx+y的最大值.而x+yx+y2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y2,当且仅当x=y时,等号成立,x+yx+y的最大值为2
9、,故a2,即a的最小值是2.方法二:x+yx+y=xx+y+yx+y,xx+y2+yx+y2=1,令xx+y=cos,yx+y=sin0,2,则x+yx+y=cos+sin=2sin+42当且仅当=4时,取等号,即x+yx+y的最大值为2.又由已知,得ax+yx+y恒成立,a2,即a的最小值为2.答案:2三、解答题(共75分)16.(12分)解不等式|x+3|+|x-3|8.解:当x8,即x-4,此时不等式的解集为x|x-4;当-3x8,此时无解;当x3时,x+3+x-38,即x4,此时,不等式的解集为x|x4.综上,原不等式的解集为x|x4.17.(12分)设a,b,c为正数.求证:2a2b
10、+c+b2c+a+c2a+bb2+c2b+c+c2+a2c+a+a2+b2a+b.证明:由对称性,不妨设abc0.于是a+ba+cb+c,故a2b2c2,1b+c1c+a1a+b.由排序原理知:a2b+c+b2c+a+c2a+bc2b+c+a2c+a+b2a+b,a2b+c+b2c+a+c2a+bb2b+c+c2c+a+a2a+b,将上面两个同向不等式相加,得2a2b+c+b2c+a+c2a+bb2+c2b+c+c2+a2c+a+a2+b2a+b.18.(12分)已知正数x,y,z满足x+y+z=1.(1)求证:x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y13;(2)求4x+4y+4z2的最小值.
11、(1)证明:x0,y0,z0,由柯西不等式,得(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y(x+y+z)2.x+y+z=1,x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y(x+y+z)2(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)=13.(2)解:由平均值不等式,得4x+4y+4z2334x+y+z2.x+y+z=1,x+y+z2=1-z+z2=z-122+3434.故4x+4y+4z233434=32,当且仅当x=y=14,z=12时等号成立.4x+4y+4z2的最小值为32.19.(13分)一变压器的铁芯截面为正十字形,如图,为保证所需的磁通量,要求十字形应具有4
12、5cm2的面积,问应如何设计十字形宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最省.解:设y=x+2h,由条件知,x2+4xh=45,h=45-x24x.设外接圆的半径为R,即求R的最小值.4R2=x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2),2R2=x2+45-x22+80-85x2+x48x2=5+58x2+10x2(0x1都有an=1+yan-1x(xR,yR,且|x|y|0).(1)求a2,a3,a4;(2)猜想数列an的一个通项公式,并用数学归纳法证明.解:(1)a2=1+y1xx=x+yx2,a3=1x1+yx+yx2=x2+xy+y2x3,a4=1x1+yx
13、2+xy+y2x3=x3+x2y+xy2+y3x4.(2)猜想an=1xn(xn-1+xn-2y+xn-3y2+xyn-2+yn-1)=1xnxn-11-ynxn1-yx=xn-ynxn(x-y)(nN+).通项公式an=xn-ynxn(x-y)(nN+).证明如下:当n=1时,a1=1x,又a1=x-yx(x-y)=1x,则猜想的公式成立.假设当n=k(k1,kN+)时,ak=xk-ykxk(x-y)成立.对n=k+1,ak+1=1+yakx=1x1+yxk-ykxk(x-y)=xk+1-xky+yxk-yk+1xk+1(x-y)=xk+1-yk+1xk+1(x-y),当n=k+1时,公式成
14、立.由上可知,对一切nN+,公式成立.21.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴有两个不同的公共点,若f(c)=0,且0x0.(1)试比较1a与c的大小;(2)证明:-2b1,t0时,求证:at+2+bt+1+ct0.(1)解:f(x)=0的图像与x轴有两个不同的交点,方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2.f(c)=0,c是方程f(x)=0的一个实根.不妨设x1=c,由于x1x2=ca,x2=1a.假设1a0,据0x0,得f1a0,这与f1a=0矛盾,1ac.(2)证明:f(c)=0,ac+b+1=0,b=-1-ac.又a0,c0,b-1.又x=-b2a=x1+x22c,得x2x1,即-b2a0,b-2.-2b0,要证不等式成立,只要证明g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c0.c10,f(1)0,即a+b+c0.又-2bb+2c0.二次函数g(t)的对称轴-a+2b+3c2(a+b+c)0时,g(t)g(0)=2c0.即原不等式成立.