1、1.5 函数y=Asin(x+)的图象(二)1.函数y=Asin(x+),A0,0中参数的物理意义A22x+2.函数y=Asin(x+),A0,0的有关性质名称 性质 定义域 _ 值域 _ 周期性 T=_ 2R-A,A名称 性质 对称性 对称性对称中心 对称轴 _ 奇偶性 当=k(kZ)时是_函数；当=k+(kZ)时是_函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 k(0)，k2x(kZ)2 奇2偶1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数xR的值域为()(2)函数的初相为()(3)函数xR的一个对称中心为 ()1ysin(2x),261 1,.2 211y2sin(x)3121.12y
2、6sin(2x)4，(,0).8【解析】(1)正确.根据函数y=Asin(x+)的性质可知此函数 的值域为(2)错误.函数 的初相为(3)正确.当x=时,答案:(1)(2)(3)1 1,.2 211y2sin(x)3121.128y6sin(2)0.842.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=Asin(x+)(其中A0,0)的最大值为5,则A=.(2)函数的周期为 .(3)若函数的周期为,则=.(4)函数在区间(-,)内对称轴有 条.1y3sin(x)351ysin(x)36 2ysin(3x)4【解析】(1)根据函数y=Asin(x+)的性质可知,此函数的最 大值为5,所以A=5
3、.答案:5(2)函数的周期为T=6.答案:6(3)由于函数 的周期为 ,故 解得=4.答案:4 2131ysin(x)36 222 ，(4)由 kZ,得 (kZ).则当k=-3时,x=k=-2时,x=k=-1时,x=k=0时,x=k=1时,x=k=2时,x=共有6条对称轴.答案:6 3xk42，kx3434；512；12；4；712；1112，【要点探究】知 识 点 函数y=Asin(x+)(A0，0)中参数的物理意义对振幅、周期、频率及相位的说明(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅.(2)T：它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期.2T ，(3)
4、f：它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率.(4)x+：称为相位；当x=0时的相位称为初相.1fT2，【知识拓展】简记图象变换步骤(1)由y=sin x到y=sin(x+)的图象的变换称为相位变换.(2)由y=sin x到y=sinx的图象的变换称为周期变换.(3)由y=sin x到y=Asin x的图象的变换称为振幅变换.因此函数y=sin x到y=Asin(x+)的图象的变换途径一般为:相位变换周期变换振幅变换 周期变换相位变换振幅变换.【微思考】(1)对于函数y=Asin(x+)中的初相是否必须大于零?函数的初相为对吗?提示:初相可正、可负,也可为0,根据初相的定义,
5、初相为 是正确的.(2)函数y=Asin(x+)的周期T与其频率f有何关系?提示:两者之间存在互为倒数的关系,即 y2sin(3x)6661f.T【即时练】1.已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()A.T=6,=B.T=6,=C.T=6,=D.T=6,=2.指出函数的振幅、频率和初相.f x2sin(x)(|)32 63631ysin(2x)310【解析】1.选A.将(0,1)点代入f(x)可得sin=,因为|0，0，|，且图象如图：求其解析式.2【解题探究】1.题(1)中由点 与点 的横坐标的关 系能确定出哪个量？2.题(2)中函数的周期应如何确定？1
6、(,0)41(,3)4【探究提示】1.由 此为四分之一个周期，可以确 定出周期T，即 2.由图象可知，确定出函数的周期.111()442，T1.425()T66，【自主解答】(1)由题知A=3,由 求得=,再利用当x=时,x+=,求出=.故函数解析式为 答案：11T4()2,441424y3sin(x).4 y3sin(x)4(2)方法一：由图象知，振幅A=3，所以=2，又由点 根据五点作图原理(可判其为“五点对应法”中的第一点)得=，所以f(x)=5T()66，(,0)6，206 33sin(2x).3方法二：由图象知，振幅A=3，所以=2.又图象过点 有 所以 又0，0，|，且函数的最大值
7、为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3，又图象过点求函数解析式.【解题指南】由最大值可确定A，根据其相邻的最高点与最低 点横坐标之差为3可确定半个周期，由此求得，将点 代入函数解析式中结合 ，求得值.20,2，0,22【解析】由题意，得A=2，=3，所以=又因为函数 过点 可得sin=又|0,0,|0)的图象上相邻两条对称轴的距离是2，则的值是_.3(2)(2014渭南高一检测)已知函数f(x)=求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间.求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心.求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合.15sin(2x).264【解题探究】1.题(1)中两条相邻对称轴
8、之间的距离与该函数的周期有何关系？2.题(2)中解决此类问题的关键点在哪？【探究提示】1.两条相邻对称轴之间的距离应等于该函数的半个周期.2.解决此类问题的关键在于灵活运用y=Asin(x+)的图象、性质，注重数形结合的思想在学习中的渗透，切实把三角函数作为一种函数去认识和领会.【自主解答】(1)f(x)=sin(x+)(0)的图象上相邻 两条对称轴的距离是2，所以周期T=4，=.答案：31212(2)函数f(x)的振幅为 ，最小正周期T=，由2k 2x+2k+(kZ)得k xk+(kZ)，f(x)的单调增区间为 令2x+=k+(kZ)，则x=(kZ)，所以对称轴 方程为x=(kZ)；令2x+
9、=k(kZ)，则x=(kZ)，所以对称中心为 (kZ).122262236k,k kZ.3662k26k266k212k(,0)212当 即2x+=+2k(kZ)，所以x=+k(kZ)时，f(x)的最小值为 此时x的取值集合是 sin(2x)1,662334，x|xk,kZ.3【延伸探究】本例(2)中，若增加条件又如何求f(x)的最大值呢？并求当取得最大值时,x的取值.【解析】则 所以当 时，f(x)的最大值为 此时x的取值为 x,6 3 ，x,6 3 ，52x,666，2x62sin(2x)16，74，x.6【方法技巧】函数y=Asin(x+)性质的应用(1)应用范围：主要围绕着函数的单调性
10、、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查.(2)解决方法：有关函数y=Asin(x+)的性质的运用问题，充分利用正弦曲线的基本性质，要特别注意整体代换的思想的运用.【变式训练】(2014遵义高一检测)设函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的图象关于直线x=对称，它的周期是，则()A.f(x)的图象过点B.f(x)在上是减函数C.f(x)的一个对称中心是D.f(x)的最大值是A2231(0,)252,1235(,0)12【解题指南】由周期是可确定；又图象关于直线x=对 称，可求得，然后判断.【解析】选C.周期是，则=2，图象关于直线x=对称，2 +=+k,kZ,即=k-由|0,0,00,0,|)的图象的最高点为由最高点运动到相邻的最低点Q的过程中,曲线与x轴交于R(6,0)点.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)确定函数g(x),使它的图象与y=f(x)的图象关于x=8对称.P 2,2,【解析】(1)因为最高点为 所以 所以 所以 又因为|,所以=,故所求解析式为 P 2,2,A2,T46 216,2,T8 22kkZ82 ，4 f x2sin(x).84(2)设点(x,y)为g(x)图象上任意一点,则此点(x,y)关于x=8对称的点为(16x,y),由题意可得 所以 y2sin16x2sin(2x)84842sin(x)84，g x2sin(x).84