1、第2课时抛物线的方程及性质的应用学 习 任 务核 心 素 养1.会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题(重点)2能解决一些与抛物线有关的综合问题(难点)通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算等素养.一条斜率为k的直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2p，类似的你还能得到其他结论吗？知识点与抛物线有关的焦点弦的相关结论过抛物线y22px(p0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)；SAOB(为直线AB的倾斜角)；
2、以AB为直径的圆必与准线l相切你能证明这个结论吗？提示(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x.由得y2p2.yp.从而|AF|BF|p；所以.(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为yk，由得k2x2p(k22)x0，x1x2p，x1x2，即.直线l过抛物线x24y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|6，则|BF|_.由得1，解得|BF|. 类型1和抛物线有关的轨迹问题【例1】设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2
3、，求实数k的值解(1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|，y，化简得x22y.故点P的轨迹方程为x22y.法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y为准线的抛物线，且p1.点p的轨迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.和抛物线有关的轨迹方程的求解方法(1)直接法：根据给定的条件，直接用两点间距离公式和点到直线的距离公式求解(2)定义法：转化条件，把所求问题
4、转化为到定点与定直线距离相等的点的轨迹问题，然后根据抛物线的定义求解跟进训练1若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程解设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆M与已知直线x10相切，所以圆心M到直线x10的距离dR.所以|MC|d1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且2，p4，故其方程为y28x. 类型2与抛物线弦的中点有关的问题【例2】(1)已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且
5、l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是()ABCD25(2)过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？(1)A由题意知，抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l过焦点F，所以kl，所以直线l的方程为y(x2)由得B点的坐标为.所以|AB|AF|BF|282.所以AB的中点到准线的距离为，故选A(2)解法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，
6、y1y24(x1x2)，即4，kAB4.AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.法二：(传统法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1y2.又y1y22，k4.AB所在直线的方程为4xy150.“中点弦”问题的解决方法跟进训练2已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则抛物线的方程为_，直线l的方程为_y24xxy0由题意知抛物线的方程为y24x，设
7、直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有且x1x2，两式相减得，yy4(x1x2)，因为AB的中点为(2,2)，所以y1y24，所以1，所以直线l的方程为y2x2，即xy0. 类型3与抛物线有关的综合问题【例3】已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补证明：直线AB的斜率为定值解(1)动圆经过定点D(1,0)，且与直线x1相切，E到点D(1,0)的距离等于E到直线x1的距离，E的轨迹是以D(1,0)为焦点，以直线
8、x1为准线的抛物线曲线C的方程为y24x.(2)证明：设直线l1的方程为yk(x1)2.直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，l2的方程为yk(x1)2.联立得方程组消元得k2x2(2k24k4)x(k2)20.设A(x1，y1)，则x1.同理，设B(x2，y2)，可得x2，x1x2，x1x2.y1y2k(x11)2k(x21)2k(x1x2)2kk2k.kAB1.直线AB的斜率为定值1.定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法：通过方程判断；对参数取几个特殊值探求定
9、点，再证明此点在直线上；利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；转化为三点共线的斜率相等或向量平行等跟进训练3已知抛物线的方程是y24x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)若弦AB的中点为(3,3)，求直线l的方程；(2)若y1y212，求证：直线l过定点解(1)因为抛物线的方程为y24x，则有y4x1，y4x2，因为弦AB的中点为(3,3)，所以x1x2.两式相减得yy4x14x2，所以，所以直线l的方程为y3(x3)，即yx1.(2)证明：当l的斜率存在时，设l的方程为ykxb，代入抛物线方程，整理，得ky24y4b0
10、，y1y212，b3k，l的方程为ykx3kk(x3)，过定点(3,0)当l的斜率不存在时，y1y212，则x1x23，l过定点(3,0)综上，l过定点(3,0)1动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x20的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆B双曲线C双曲线的一支D抛物线D依题意可知动点P(x，y)在直线x20的右侧，设P到直线x20的距离为d，则|PF|d1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x30的距离相等，其轨迹为抛物线2已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()Ay212xBy212xCx212yDx212yA设动点M(x，y)，M与直
11、线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心M的轨迹方程是y212x.3设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于()A30B45 C60D90D由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a0.SAOB2a16，解得a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.4若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_(4,2)由得x28x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2
12、8，y1y2x1x244，故线段AB的中点坐标为(4,2)5已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且0，延长MP到点N，使得|，则点N的轨迹方程是.y24x由于|，则P为MN的中点设N(x，y)，则M(x,0)，P，由0，得0，所以(x)10，则y24x，即点N的轨迹方程是y24x.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？提示直接法、定义法(2)解决和抛物线有关的中点弦问题有哪些方法？提示(3)如何解决定点定值问题？提示欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值寻求一条直线经过某个定点的常用方法：a.通过方程判断；b.对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；c.利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；d.转化为三点共线的斜率相等或向量平行等
