1、3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程学 习 任 务核 心 素 养1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程(重点)2明确抛物线方程中参数p的几何意义(易混点)3会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题(难点)通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线思考：图中是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
2、知识点1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线1.抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?提示当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线1.(1)若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x3的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆B抛物线C直线D双曲线(2)平面内到点A(2,3)和直线l：x2y80距离相等的点的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D圆(1)B(2)A(1)由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B(2)由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一
3、条直线，故选A知识点2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy2.抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？提示p(p0)的几何意义是焦点到准线的距离2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线y22px(p0)中p是焦点到准线的距离()(2)方程x22ay(a0)表示开口向上的抛物线()(3)抛物线y2x的准线方程为x.()答案(1)(2)(3) 类型1求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上解
4、(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)又2，2p8，故所求抛物线的标准方程为x28y.(2)点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y中，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.1试总结用待定系数法求抛物线标准方程的步骤提示2求抛物线标准方程时应注意什么问题
5、？提示(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意p与的几何意义跟进训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(2)经过点(3，1)；解(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.(2)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px
6、(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x或x29y. 类型2抛物线定义的应用【例2】(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1B2C4D8(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值(1)A由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A(2)解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离由图可知，点P，点(
7、0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值解将x3代入y22x，得y.所以点A在抛物线内部设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x的距离为d，则|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值是.即|PA|PF|的最小值是.抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进
8、行转化，即化折线为直线解决最值问题跟进训练2(1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y28x上移动，P到直线x1的距离为d，则d|PA|的最小值为()A1B2C3D4(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则P点的轨迹方程是()Ay216xBy232xCy216xDy232(3)抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_(1)C(2)C(3)(1)由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，点P到准线x2的距离为d1，于是|PF|d1，所以d|PA|PF|1|PA|的最小值为|AF|1413.(2)由题意知点P到点F(4,0)和直线x4的距离相等所以P
9、点的轨迹是以F为焦点，以直线x4为准线的抛物线，又p8，则点P的轨迹方程为y216x.故选C(3)抛物线的标准方程为x2y，其准线方程为y.设M(x0，y0)，则有y01，解得y0. 类型3抛物线的实际应用【例3】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？实际问题与抛物线有关，联系抛物线标准方程的坐标原点及坐标轴的位置，请思考如何建立平面直角坐标系？解如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y. 当船
10、的两侧和拱桥接触时船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航求解抛物线实际应用题的步骤跟进训练3.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示设抛物线方程为x22py(p0)AB是OD的4倍，点B的坐标为.由点B在抛物线上，得2p，p.抛物线方程为x2ay.设点E(0.8，y0
11、)为抛物线上一点，代入方程x2ay，得0.82ay0，y0，点E到拱底AB的距离h|y0|，令h3，则3，解得a6或a6(舍去)a的最小整数值为13.1准线为y的抛物线的标准方程是()Ax23yByx2Cx3y2Dxy2A准线是y的抛物线的标准方程是x23y，故选A2若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是()A6B7C8D9D抛物线y24x的准线方程为x1，抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，可得xM9，则点M到y轴的距离是9.故选D3若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为()Ay28xBy28xCx28yD
12、x28yC依题意得点P(x，y)到点F(0,2)的距离与它到直线y20的距离相等，并且点F(0,2)不在直线y20上，所以点P的轨迹是抛物线，并且F是焦点，y20是准线，于是抛物线方程为x28y.4如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米2建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_(9,6)或(9，6)由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线
13、方程为x.设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点M(9，y)在抛物线上，得y6，故点M的坐标为(9,6)或(9，6)回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)抛物线是如何定义的？试写出其标准方程提示把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线焦点在x轴上的抛物线标准方程为y22px(p0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程为x22py(p0)(2)当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？提示可设抛物线方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)(3)求解与抛物线有关的实际问题的基本步骤是什么？提示建：建立适当的坐标系设：设出合适的抛物线标准方程算：通过计算求出抛物线标准方程求：求出所要求出的量还：还原到实际问题中，从而解决实际问题