1、2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 第八章 立体几何初步 单元测试一、选择题1、如图，棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点，则三棱锥的外接球体积为（ ）ABCD2、正三棱锥SABC的外接球半径为2，底边长AB3，则此棱锥的体积为（ ）A.B.或C.D.或3、某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）ABCD4、如图，在六边形中，四边形是边长为2的正方形，和都是正三角形，以和为折痕，将六边形折起并连接得到如图所示的多面体，其中平面平面，二面角的余弦值为，则折叠后得到的多面体的体积为（ ） ABCD5、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何
2、体的体积为（ ）ABCD6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中BM与ED成 角NF与BM是异面直线CN与BM成角 DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 7、阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的
3、直径，则该球的体积为 （ ）ABCD8、下列说法中正确的个数是（ ）圆锥的轴截面是等腰三角形；用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；棱台各侧棱的延长线交于一点；有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 A0B1C2D39、在三棱锥中，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD10、已知不同直线、与不同平面、，且，则下列说法中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）ABCD12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）AB3CD二、填空题13、有如下命
4、题：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；平行于同一条直线的两条直线平行；如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补其中作为公理（基本事实）的是_（填写序号）14、如图为一个几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，点、及、共线，沿图中直线将它们折叠，使、四点重合，则需要_个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体15、如图所示是一个三棱柱形状的容器，平面，这个容器能装进去的最大的球的体积为（容器壁厚度不计）_.16、若两个正方体的外接球的表面积之和为，则这两个正方体的表面积之和为_.三、解答题17、（本小
5、题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A-BPC中，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.（1）求证：平面APC；（2）若，求三棱锥D-BCM的体积.19、（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，ABAC2，PA2，PBPD.（1）证明：平面PAC平面ABCD；（2）若PAAC，M为PC的中点，求三棱锥BCDM的体积.20、（本小题满分12分）如图所示,底面为平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中,E为PC的中点.求证:PA平面BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并
6、最终把推理过程用简略的形式表示出来)参考答案1、答案D解析三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，三棱柱外接球的球心为的中点设为点O，利用勾股定理解得半径得到答案.详解如图所示：在正方体中，连接，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，在中，取中点H，连接，则为边的垂直平分线，所以的外心在上，设为点M，同理可得的外心N，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点设为点O，由图可得，又，可得，所以，解得，所以.故选：D.点睛本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.2、答案B解析画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体积。详解设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高
7、所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图此时有 ，即可解得h=3因而棱柱的体积当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图有，即可解得h=1所以综上，棱锥的体积为或所以选B点睛本题考查了棱锥的外接球的综合应用，注意分类讨论及空间线段的关系，属于难题。3、答案A解析根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积详解解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥PABC，三棱锥PABC的体积为：，故选：A点睛本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础
8、题4、答案B解析多面体的体积转化为两个相等的四棱锥的体积和.详解： 图（1）如图（1），设的中点分别为M和N，连接，由题意得，故为二面角的平面角，所以，过A作于H，易证平面，因为，所以，所以，故多面体的体积为.故选：B点睛本题考查平面图形翻折成立体图形、二面角、求多面体体积等基本知识，考查了空间想象能力，数学运算能力，属于中档题.5、答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.详解由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.点睛本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积
9、的求解方法，属于基础题.6、答案C解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与是异面直线，与成，与是异面直线，故正确，故选C7、答案C解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.详解：设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，正确；对于，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，错误；对于，棱台是用一个平
10、行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，正确；对于，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以错误；综上所述，正确命题的序号是，共2个故选：C点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积详解：取中点，由，可知：，
11、为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，为的中点由球的性质可知：平面，且设，在中，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题
12、的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角POEOE=2cm，OPE=30，斜高h=PE=，S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得，联立得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么
13、这条直线在这个平面内，命题为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题为公理.命题为等角定理.故答案为：.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.详解将展开图折叠起来后，得到四棱锥，其中平面，因此该四棱锥的体积为，而棱长为的长方体体积为，所以需要个这样的几何体.故填：.点睛本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.15、答案
14、详解：解：由于，则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三个侧面相切，作截面如图所示，作，垂足为S.，由余弦定理得，.设圆的半径为r，球的体积.故答案为：.点睛本题考查球的体积，关键是利用等面积法求球体半径，属于中档题.16、答案24解析设出两个正方体的棱长，分别求得对应的外接球的半径，由两个正方体的外接球的表面积之和列方程，求得的值，进而求得两个正方体的表面积之和.详解：设这两个正方体的棱长分别为，则这两个正方体的外接球的半径分别为，则，即，故这两个正方体的表面积之和为.故答案为：点睛本小题主要考查正方体外接球表面积的有关计算，属于基础题.详解：由于四边形是正方形，平面，平面，平面，平面，平面
15、，平面，平面，平面，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）根据题意得到平面BCD的距离为的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.详解（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，所以MD是的中位线，.又平面APC，平面APC，所以平面APC.（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，又，平面PBC，平面PBC，平面PBC，平面PBC，又，平面PAC，平面PAC，平面PBC，.平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.又因为，M为A
16、B的中点，为正三角形，所以，由平面APC，可得，在直角三角形PCB中，由，可得.于是,所以.点睛本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.解析19、答案（1）见解析；（2）1（2）利用进行转化，先证出平面，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.详解：（1）证明：设交于点，连接，在菱形中，又，是的中点，平面，平面，平面，又平面，故平面平面；（2）解：连接，为的中点，且为的中点，由（1）知，又，则，又，平面，又，.三棱锥的体积为1.点睛本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法.证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥的体积可以转化为以三角形为底，求的体积.解析连接AC交BD于O,连接OE,由已知OE为PAC的中位线(小前提),所以PAOE(结论).(2)平面外一条直线和平面内一直线平行,则平面外的直线与该平面平行(大前提), (小前提),所以PA平面BDE(结论).上面的证明可简略地写成:连接AC交BD于O.连接OE,四边形ABCD为平行四边形,O为AC的中点.又E为PC的中点,在PAC中,PAOE, ,PA平面BDE.解析