1、高二数学期中考试试题（文科）姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 实数集R，设集合P=x|x2-4x+30，Q=x|x2-40，则P（RQ）=（）A. B. C. D. 2. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A. B. C. 2D. 33. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.若sinBsinC=sin2A,则ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4. ABC中，abc分别为ABC的对边，如果abc成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b
2、等于（）A. B. C. D. 5. 在ABC中，A=75，B=45，则ABC的外接圆面积为（）A. B. C. 2D. 46. 设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37. 给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；命题“若ab，则2a2b-1”的否命题为“若ab，则2a2b-1”；“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中正确的命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A. -3m0B. -3m2C. -3m4D.
3、-1m39. 不等式2x2-5x-30成立的一个必要不充分条件是（）A. x0B. x0或x2C. D. 或x310. 若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B. C. D. 或11. 已知双曲线=1（a0，b0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，-b），若B1FB2A，则该双曲线的离心率为（)A. B. C. D. 12. 若an是等差数列，首项a10，a23+a240，a23a240，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A. 46B. 47C. 48D. 49二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在ABC中，a=，b=1，A=，则cosB= _
4、14. 若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n= _ 时，an的前n项和最大15. 设p:0，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是_16. 已知椭圆C：=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的方程为_ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求ABC的面积18. 设数列an满足a1+3a2+（2n-1）an=2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和19. 设集合A=x|x2
5、9，B=x|（x-2）（x+4）0（1）求集合AB；（2）若不等式2x2+ax+b0的解集为AB，求a、b的值20. 设p：实数x满足x2+2ax-3a20（a0），q：实数x满足x2+2x-80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围21. 已知双曲线C：（a0b0）的离心率为，虚轴端点与焦点的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值22. 已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且MNF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）若直线yk
6、xb与椭圆C分别交于A，B两点，且OAOB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题解不等式求得集合P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可【解答】解：实数集R，集合P=x|x2-4x+30=x|1x3，Q=x|x2-40=x|-2x2，RQ=x|x-2或x2，P（RQ）=x|x-2或x1=（-，-21，+）故选D2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从
7、而解得b的值【解答】解：a=，c=2，cosA=，由余弦定理可得：cosA=，整理可得：3b2-8b-3=0，解得：b=3或-（舍去）故选D3.【答案】C【解析】【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得由sin BsinC=sin2A，利用正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题本题主要考查了正余弦定理的应用，运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系，属于简单题.【解答】解：在ABC中，b2+c2=a2+bc，cosA=，A（0，），bc=a2，代入b2+c2
8、=a2+bc，（b-c）2=0，解得b=cABC的形状是等边三角形故选：C4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题由题意可得2b=a+c平方后整理得a2+c2=4b2-2ac利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c平方得a2+c2=4b2-2ac又ABC的面积为，且B=30，由SABC=acsinB=acsin30=ac=，解得ac=6，代入式可得a2+c2=4b2-12，由余弦定理cosB=解得b2=4+2，又b为边长，b=1+故选B5.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦定理，求
9、出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题【解答】解：在中，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得=，解得，故的外接圆面积，故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数的最优解是解题的关键.解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=x+y即y=-x+z，当直线过点A时，直线y=-x+z的截距最大，z的值最大.由解得A（3，0），所以z=x+y 的最大值为3.故选D.7.【答案】C【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档.根据复合命题真假判断的真值表，可判断；
10、根据四种命题的定义，可判断；根据全称命题的否定，可判断；根据充要条件的定义，可判断.【解答】解：若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；命题“若ab，则”的否命题为“若，则”，故正确；“，”的否定是“，”，故正确；在中，“”“ab”“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”,故“AB”是“sinAsinB”的充要条件，故正确.故选C.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，则有（m-2）（m+3）0，解可得-3m2，要求方程表示双曲线的
11、一个充分不必要条件，即要求的是m|-3m2的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选A9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的包含关系判断及应用和必要条件、充分条件和充要条件的判断，利用一元二次不等式的解法得不等式的解，再利用集合的包含关系在必要条件、充分条件和充要条件的判断中的应用得结论，属于基础题.【解答】解：解不等式2x2-5x-30可得：，根据题意，该解集为选项中集合的真子集，故依次将选项代入验证可得：不等式2x2-5x-30成立的一个必要不充分条件是或.故选B10.【答案】D【解析】【分析】曲线表示椭圆，可得，解出即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不
12、等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题【解答】解：曲线表示椭圆，解得-1k1，且k0故选：D11.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设A（a，0），F（c，0），由向量的坐标计算公式可得=（c，-b），=（a，b），进而分析可得=ac-b2=0，结合双曲线的几何性质，可得c2-a2-ac=0，由离心率公式变形可得e2-e-1=0，解可得e的值，即可得答案本题考查双曲线的几何性质，关键是由B1FB2A分析a、b、c的关系【解答】解：根据题意，已知双曲线=1（a0，b0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，设A（a，0），F（c，0），则=（c，-b），=（a，b），若B1FB2A，则有
13、=ac-b2=0，又由c2=a2+b2，则有c2-a2-ac=0，变形可得：e2-e-1=0，解可得e=或（舍）故e=，故选C12.【答案】A【解析】解：an是等差数列，并且a10，a23+a240，a23a240 可知an中，a230，a240，a1+a46=a23+a240 故使前n项和Sn0成立的最大自然数n是46， 故选A 首先判断出a230，a240，进而a1+a46=a23+a240，所以可得答案 等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意
14、识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果13.【答案】【解析】解：a=，b=1，A=， 由正弦定理可得：sinB=， ba，B为锐角， cosB= 故答案为： 由已知利用正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14.【答案】8【解析】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a80， a80，又a7+a10=a8+a90，a90， 等差数列an的前8项为正数，从第
15、9项开始为负数， 等差数列an的前8项和最大， 故答案为：8 可得等差数列an的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论 本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题15.【答案】（2，+）【解析】解：解不等式可得：0x2，因为p是q成立的充分不必要条件，所以集合x|0x2是集合x|0xm的真子集m2故答案为：（2，+）将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m的范围本题考查利用集合关系来判断条件关系当AB时，A是B的充分不必要条件是解决问题的关键，属基础题16.【答案】y=x1【解析】解：椭圆：=1，即：x2+3y2=3 l：y=x+m，
16、代入x2+3y2=3， 整理得4x2+6mx+3m2-3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=-，x1x2=， |AB|=|x1-x2| = =， 解得：m=1 直线l：y=x1 故答案为：y=x1 设出直线方程y=x+m，代入x2+3y2=3，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，得到直线方程 本题考查椭圆弦长的求法，解题时要注意弦长公式，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力17.【答案】解：（1）（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，又A（0，），A=,（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，a=3，A
17、=，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，解得：b=，c=2，SABC=bcsinA=.【解析】（1）由已知等式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A（0，），即可求得A的值（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解18.【答案】解：（1）数列an满足a1+3a2+（2n-1）an=2nn2时，a1+3a2+（2n-3）an-1=2（n-1）（2n-1）an=2an=当n=1时，a1=2，上式也成立an=（2）=-数列的前n项和=+=1-=【解析】本题
18、考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（1）利用数列递推关系即可得出（2）=-利用裂项求和方法即可得出19.【答案】解：集合A=x|x29=x|-3x3，B=x|（x-2）（x+4）0=x|-4x2；（1）集合AB=x|-3x2；（2）AB=x|-4x3，且不等式2x2+ax+b0的解集为（-4，3），2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24【解析】（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目
19、20.【答案】解：因为p：-3axaq：-4x2，因为p是q的必要不充分条件，所以p能推出q，q不能推出p所以x|-3axax|-4x2，故满足解得0a【解析】解两个不等式，将p和q表示为x的集合，然后由p是q的必要不充分条件得两个集合之间的包含关系，结合数轴构造关于a的不等式，求解即可本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化，考查了解不等式组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题21.【答案】解：（1）由题意，得=，c2+b2=5，c2=a2+b2，解得a=1，c=，b=，所求双曲线C的方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由得x2-2
20、mx-m2-2=0（判别式=8m2+80），x0=m，y0=x0+m-2m，点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，m2+（2m）2=5，m=1【解析】（1）利用双曲线的离心率以及虚轴端点与焦点的距离为，列出方程求出a，b即可求解双曲线的标准方程 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），联立方程组，利用韦达定理，求出中点坐标，代入圆的方程，即可求出m的值本题考查双曲线的简单性质，标准方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力22.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率e=，则b2=3椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可
21、设A（x0，x0），B（x0，-x0）又A，B两点在椭圆C上，点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0由已知0，x1+x2=-，x1x2=，由OAOB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，7b2=12（k2+1），满足0点O到直线AB的距离d=为定值综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值【解析】（1）由题意可知：4a=8，e=，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得b和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题
