1、课后素养落实(二十七)双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1若实数k满足0k5，则双曲线1与双曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等D由于16(5k)(16k)5，所以焦距相等2若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.故选C3已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A1B1C1D1A双曲线C的渐近线方程为0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以0，即a24b2，又a2b2c225，由，得b2
2、5，a220，所以双曲线C的方程为1，故选A4过双曲线1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q90，则双曲线的离心率是()AB1C2D3B由题意知|F1F2|PF2|，即2c，2acc2a2，e22e10，解得e1，又e1，e1，故选B5已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线yx交于A，B两点，若|AB|2，则该双曲线的方程为()Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y225B设等轴双曲线的方程为x2y2a2(a0)，与yx联立，得x2a2，|AB|a2，a3，故选B二、填空题6若双曲线x21的离心率为，则实数m_，渐近线方程是_2yxa21，b2m，e21
3、m3，m2.渐近线方程是yxx.7以yx为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为_1以yx为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2y2(0)，代入点(2,0)得4，x2y24，即1.8已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_y21法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而2，点(4，)在渐近线yx的下方，在yx的上方(如图)双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为1(a0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.三、解答题9已知圆M：
4、x2(y5)29，双曲线G与椭圆C：1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆C：1的两焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，则G的渐近线方程为yx，即bxay0，且a2b225.圆M的圆心为(0,5)，半径为r3，3，a3，b4.双曲线G的方程为1.10已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程解(1)由已知得c2
5、，e2，所以a1，b.所以所求双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为yxm，点M(x1，y1)，N(x2，y2)联立整理得2x22mxm230.(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0，y0x0m，所以线段MN垂直平分线的方程为y，即xy2m0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|2m|4，得m22，m，此时(*)的判别式0，故直线l的方程为yx.1(多选题)关于双曲线C1：4x29y236与双曲线C2：4x29y236的说法正确的是()A有相同的焦点B有相同的焦距C有相同的离心率D有相同的渐近线BD两方程均化为标准方程为1和1，这里均有c24913，所以有相同的
6、焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为yx，故D正确C1的离心率e，C2的离心率e，故C错误2设点F1，F2分别是双曲线C：1(a0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDyxD设F1(c,0)，A(c，y0)，则1，1，y，|AB|2|y0|.又SABF22，2c|AB|2c2，.该双曲线的渐近线方程为yx.3已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e_.1以线段F
7、1F2为边作正MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|2c，M在y轴正半轴，则M(0，c)，又F1(c,0)，则边MF1的中点为，代入双曲线方程，可得1，由于b2c2a2，e，则有e24，即有e48e240，解得e242，由于e1，即有e1.4双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).(1)过点P(，5)与双曲线1有且
8、只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程；(2)已知直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？解(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x，此时直线与双曲线仅有一个交点(，0)，满足条件若直线的斜率存在，设直线的方程为y5k(x)，则ykx5k，代入双曲线方程，得1，25x27(kx5k)2725，(257k2)x272k(5k)x7(5k)27250.当k时，方程无解，不满足条件当k时，方程为25x10875，有一解，满足条件当k时，令14k(5k)24(257k2)7(5k)21750，化简后知无解，所以不满足条件所以满足条件的直线有两条，方程为x和yx10.(2)把yax1代入3x2y21中整理，得(3a2)x22ax20.当a时，244a2.当0，即a0，解得a.故当a或a时，A，B两点在双曲线的同一支上若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x 20，解得a.故当a时，A，B两点在双曲线的两支上