1、6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时学习目标1.平面向量的坐标的定义;2.平面向量的坐标的求法;3.平面向量直角坐标在向量相等和线性运算中的应用.自主预习1.什么叫正交基底?.2.什么叫正交分解?.3.向量坐标的定义:.课堂探究探究一:1.正交基底:2.正交分解:尝试与发现如图所示,已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,将图中的向量a与b都用e1,e2表示.3.由上图可以看出,a=,b=.4.引入坐标的定义:.牛刀小试:图中a的坐标为,b的坐标为.探究二:在平面直角坐标系中,如何确定向量的坐标呢?请同学们自行阅读课本第161页,并完成下题:图中,a=,b=,e1=,e2=.小结:1
2、.如果平面上一点A的坐标为(x,y),那么向量OA对应的坐标也为,即OA=;反之,这一结论也成立.2.为了求出平面上向量的坐标,可以选择如下两种方法中的任何一种:.例1如图所示,写出向量a,b的坐标.探究三:平面上的向量有了坐标之后,向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系呢?探究:假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),也就是说a=x1e1+y1e2,b=.(1)若a=b,则x1e1+y1e2=x2e1+y2e2,坐标关系为;(2)向量a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,a+b的坐标为;同理:(3)向量a
3、-b的坐标为;(4)向量a的坐标为.例2已知a=(-2,3),b=(3,-3),求下列向量的坐标:(1)a+b;(2)2a-5b;(3)13b.探究:由平面向量的坐标怎样表示向量的模?事实上,如果向量a不在坐标轴上时,可以构造出一个边长分别为|x|与|y|的矩形,而|a|正好等于矩形的对角线长,因此|a|=x2+y2.当a在坐标轴上时,上述结论显然也成立.例3已知a=(3,1),b=(-23,2),求|a|,|b|.课堂练习1.下列说法中正确的个数是()向量在平面直角坐标系xOy内的坐标是唯一的;若AB=(1,2),则AB的终点坐标是(1,2);若AB的终点坐标为(1,2),则AB=(1,2)
4、.A.0B.1C.2D.32.若向量AB=(1,2),BC=(3,4),则AC等于()A.(4,6)B.(-4,-6)C.(-2,-2)D.(2,2)3.设向量a,b满足|a|=25,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为.核心素养专练1.若向量OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为()A.(0,5)B.(4,-1)C.22D.52.已知AB=a,且A12,4,B14,2,又=12,则a等于()A.-18,-1B.14,3C.18,1D.-14,-3参考答案自主预习略课堂探究探究一:1.如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,就称这组基
5、底为正交基底.2.在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解3.2e1+2e23e1-2e24.一般地,给定平面内两个互相垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量当a的坐标,记作a=(x,y)牛刀小试:(2,2)(3,-2)探究二:(4,2)(-3,-1)(1,0)(0,1)小结:1.(x,y)(x,y)2.将向量用正交单位向量e1,e2表示出来,读出向量的坐标(探究一)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标,即向量的坐标(探究二)例1解:因为a的始点在原点,所以由a的终点坐标知a=(5,-1).又因为b=4e1+e2,所以b=(-4,1).探究
6、三:探究:x2e1+y2e2(1)x1=x2且y1=y2(2)(x1+x2,y1+y2)(3)(x1-x2,y1-y2)(4)(x1,y1)例2解:(1)a+b=(-2,3)+(3,-3)=(-2+3,3-3)=(1,0).(2)2a-5b=2(-2,3)-5(3,-3)=(-4,6)-(15,-15)=(-19,21).(3)13b=13(3,-3)=(1,-1).例3解:由已知可得|a|=(3)2+12=2,|b|=(-23)2+22=4.课堂练习1.B解析:因为e1,e2为正交基底,所以正确;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关,故不正确.2.A
7、解析:AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6).3.解析:因为b=(2,1),且a与b的方向相反,所以设a=(2,)(0).因为|a|=25,所以42+2=20,2=4,=-2,所以a=(-4,-2).答案:(-4,-2)核心素养专练1.D2.A第2课时学习目标1.理解平面向量的坐标概念;2.掌握向量的坐标运算;3.通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力;4.通过对坐标平面内点和向量的类比,培养学生类比推理能力;5.借助数学图形解决问题,提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.自主预习1.根据上节课的知识,当向量的始点在原点时,它的直角坐标怎样读
8、出来?2.向量的加法、减法法则.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则OA=,OB=,所以,AB=(x2,y2)-(x1,y1)=.课堂探究探究一:问题1:已知向量的始点为A(x1,y1),终点为B(x2,y2),能否直接写出向量的坐标?问题2:向量模的坐标运算公式|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2,对于上式,你还能发现什么?你能求平面内两个点之间的距离吗?问题3:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),设线段AB的终点为M(x,y),根据前面所学知识,得OM=12(OA+OB)=12(x1+x2,y1+y2)=x1+x22,y1+y22对于上式,你能
9、发现线段的中点坐标怎样表示吗?例1已知点A(-2,1),B(1,3),求线段AB的中点M与三等分点P,Q的坐标.变式训练已知平行四边形ABCD的顶点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则顶点D的坐标是.探究二:1.回答共线向量基本定理.2.请同学们自主学习课本第165页,并归纳出向量平行的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2=x2y1.例2已知AB=(2,5),a=(1,y),ABa,求y的值.变式训练在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.课堂练习1.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,A
10、B=(2,4),AC=(1,3),则DA=()A.(2,4)B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=()A.(1,-2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)3.设a=32,tan,b=cos,13,且ab,则锐角为()A.30B.60C.45D.754.已知AB=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为()A.(1,8)B.(-1,8)C.(3,2)D.(-3,2)参考答案自主预习略课堂探究探究一:问题1:能,AB=(x2-x1,y2-y1).问题2:发现平面内两点A(x1,y1)与B(x2,y2)之间距离|AB|=|A
11、B|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.问题3:x=x1+x22,y=y1+y22.例1解:OM=12(OA+OB)=-12,2.因为AB=1,3-2,1=3,2,又因为AP=13AB,设P(x,y),所以(x,y)-(-2,1)=13(3,2)=1,23,所以(x,y)=1,23+(-2,1)=-1,53.同理可得Q0,73,所以M-12,2,P-1,53,Q0,73.变式训练:解析:由于平行四边形ABCD的顶点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则可知AB=DC.(1,2)=(3-x,4-y).x=2,y=2,故点D的坐标是(2,2).探究二:略例2解:因为ABa,所以15=2
12、y,解得y=52.变式训练:证明:由已知得AB=(0,1)-(-2,-3)=(2,4),AC=(2,5)-(-2,-3)=(4,8).因为28=44,所以ABAC,所以A,B,C三点共线.课堂练习1.C2.A3.A4.B第1课时学习目标1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则和向量的模的公式.3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.自主预习1.直线的平行与向量的平行有什么联系与区别?2.怎样判断两条直线垂直?3.在边长为1的正三角形ABC中,|AB-AC|的值为.4.如图,在ABC中,D是AB边上的点,且满足AD=3B
13、D,设CA=a,CD=b,则向量CB用a,b表示为.课堂探究1.向量的垂直问题1直线垂直是怎样定义的?如果平面上两个非零向量a,b所在的,我们就说平面向量,记作,为了方便起见,规定零向量与任意向量都垂直即时训练写出下列哪些向量是垂直的.2.正交分解问题2前面我们学过平面向量基本定理,当基底为两个垂直向量时仍成立吗?思考并回答下面问题.已知e1,e2平面内两垂直的单位向量,将图中的向量a,b用e1,e2表示.a=;b=.3.向量的坐标小组合作探究一我们可以借助初中学过的形式表示上面两个向量.根据直角坐标系中点的坐标我们可得出:一般地,给定平面内两个的单位向量e1,e2,对于平面内向量a,如果a=
14、xe1+ye2,则称为向量a的坐标,记作.请同学们写出上面问题中两个向量的坐标.即时训练请同学们写出下面坐标系中两个向量的坐标.小组合作探究二当向量的始点坐标为原点时,终点坐标是对应向量的坐标;当向量的始点不是坐标原点怎么办?要点归纳为了求出平面上向量的坐标,可以选择如下两种方法中的任何一种:(1)将向量用表示出来;(2)将向量的始点,读出终点的坐标.例1根据下图写出向量a,b,c,d的坐标,其中每个小正方形的边长是1.即时训练请把下列坐标系中的向量的始点移到原点,并标出向量a,b,c,d所对应的点A,B,C,D.4.平面向量的坐标运算问题3现在向量可以用坐标表示,那向量的加减与数乘是不是用坐
15、标表示更简单呢?已知a=OA,b=OB,c=OC,如下图所示,写出a,b,c的坐标,看看用坐标表示向量a+b,a-b以及a-3c,然后写出它们的坐标.小组合作探究三我们能不能得到向量加减与数乘的一般公式呢?设a=(x1,y1),b=(x2,y2),试写出a+b,a-b,a,a+b的坐标.a+b=.a-b=.a=.a+b=.例2已知a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4),试用a,b表示c.要点归纳待定系数法是最基本的数学方法之一,它的实质是先将未知量设出来,再利用方程或方程组求解,把一个向量用其他两个向量表示,这是常用方法.课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方
16、法层面)核心素养专练单项选择题1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)多项选择题2.已知,在平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面结论正确的是()A.AB-CA=BCB.OA+OC=OBC.AC=OB-2OAD.OA+2OB=OC解答题3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c.(1)求3a+b;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值.参考答案自主预习略课堂探究1.问题1直线互相垂直a与b垂直ab即时训练AD与DC,CD,AB,BA;
17、DA与DC,CD,AB,BA等.2.正交分解问题2成立2e1+2e23e1-2e23.小组合作探究一相互垂直(x,y)a=(x,y)(2,2),(3,-2)即时训练(4,-1),(-3,3)小组合作探究二要点归纳(1)单位向量(2)平移到原点例1a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).即时训练a=OA=(1,3);b=OB=(-5,-2);c=OC=(-2,-2);d=OD=(2,-4).4.问题3a+b=(-1,4),a-b=(9,-2),a-3c=(1,-2).小组合作探究三a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)a=(x1,y1
18、)a+b=(x1+x2,y1+y2).例2解:设c=xa+yb,则(10,-4)=x(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y),10=-2x+3y,-4=3x+y,解得x=-2,y=2,c=-2a+2b.核心素养专练1.B2.BC3.解:a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b=3(5,-5)+(-6,-3)=(15-6,-15-3)=(9,-18).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=n=-1.第2课时学习目标1.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.掌握向量平行的坐标表示.3
19、.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式,培养学生的数学运算素养.4.通过学习向量平行的坐标表示,培养学生的逻辑推理、数学运算,数形结合素养.自主预习1.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则AB-AC=,AB+2BC=.2.已知向量OA=(3,-2),OB=(-5,-1),则向量12AB的坐标是()A.-4,12B.4,-12C.(-8,1)D.(8,1)3.共线向量基本定理:课堂探究思考:某中学的健美操队四名队员A,B,C,D在一个长10米,宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.(1)若在某时刻t1,四名队员A,B,C,D保持如图1所示的
20、平行四边形队形.队员A位于点F处,队员B在边FG上距F点3米处,队员D位于距EF边2米,距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗?能求AC长度吗?会求A和C中点坐标吗?图1图2(2)若在某时刻t2,四名队员A,B,C,D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米,距FG边1米处,队员B在距EF边6米,距FG边3米处,队员D位于距EF边4米,距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗?能求AC长度吗?会求AC中点坐标吗?探究点一平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式(一)回顾经验,明确思路情境引入如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2)是坐标系内的两点.问题1你能用什
21、么方法求出AB?问题2怎样求出AB中点C的坐标(x,y)?(二)理性认识,概括公式设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,线段AB中点为M(x,y),则(1)AB=|AB|=.(2)x=,y=.探究点二向量平行的坐标表示a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数使得a=b.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示?问题1设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),如果ab,那么x1y2-x2y1=0,请你写出证明过程.问题2设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),b0,如果x1y2-x2y1=0,那么ab.请你写出证明过程.问题3若b=0时,前两个问
22、题中的结论成立吗?公式形成向量平行的坐标表示对任意平面向量都成立设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab练习1.向量(1,2)与向量(4,8)共线.()2.向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.()3.已知a=(-6,2),b=(m,-3),且ab,则m=()A.-9B.9C.3D.-3例1已知A(-2,1),B(1,3).(1)求AB的中点M的坐标;(2)求线段AB两个三等分点P,Q的坐标,并计算PQ.跟踪训练1:已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(2,2),C(3,6),而且A,B,C,D按逆时针方向排列,求:(1)AB,AD的长;(2)D点的坐标.例2已知A(2
23、,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?(尝试用不同的方法处理)方法提炼:跟踪训练2已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?核心素养专练1.已知a=(-1,2),b=(2,y),若ab,则y的值是()A.1B.-1C.4D.-42.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则使AB=BC成立的实数的值为()A.-2B.0C.1D.23.在ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是.4.给定两个向量a=(1,2
24、),b=(,1),若a+2b与2a-2b共线,求的值.参考答案自主预习略课堂探究思考:略探究点一问题1可用AB=|AB|,再用向量求模公式.问题2可用AC=CB,化为向量坐标相等,列实数方程组求出(x,y).(1)(x2-x1)2+(y2-y1)(2)x1+x22y1+y22探究点二问题1:当ab时,如果b0,由平面向量基本定理可知存在,使得a=b,即(x1,y1)=(x2,y2)=(x2,y2).因此x1=x2,y1=y2,从而x1y2=x2y2,x2y1=x2y2,所以x1y2-x2y1=0.问题2:当x1y2-x2y1=0时,如果x20且y20,则有x1x2=y1y2,设这个比值为,则有
25、x1=x2,y1=y2,从而(x1,y1)=(x2,y2)=(x2,y2),即a=b,因此ab.如果x2=0且y20,则有x1=0,设=y1y2,同样有(x1,y1)=(x2,y2),即a=b,因此ab.类似地,如果x20且y2=0,=x1x2,同样有a=b,因此ab.从而,不管哪种情况都有ab问题3:成立x1y2=x2y1练习1.2.3.B解析:由ab,得-6(-3)=2m,m=9.例1解:(1)显然OM=12(OA+OB)=12(-2,1)+(1,3)=-12,2,即AB中点M的坐标为-12,2.(2)因为AB=OB-OA=(1,3)-(-2,1)=(3,2),又因为AP=13AB,所以O
26、P-OA=13AB,因此OP=OA+13AB=(-2,1)+13(3,2)=-1,53.类似地,有OQ=OA+23AB=(-2,1)+23(3,2)=0,73.即P,Q的坐标分别为-1,53,0,73,故PQ=0,73-1,53=1,23,PQ=|PQ|=12+232=133,或者PQ=(-1-0)2+53-732=133.(也可利用PQ=13AB来计算)跟踪训练1解:(1)由两点间距离公式,得AB=2-(-2)2+(2-1)2=17.又因为AD=BC,所以AD=BC=(3-2)2+(6-2)2=17.(2)由题意知AB=DC,所以OB-OA=OC-OD.因此OD=OA+OC-OB=(-2,1
27、)+(3,6)-(2,2)=(-1,5),从而D(-1,5).例2解:AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3).CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).方法一(-2)(-6)=34,且(-2)40,AB与CD共线且方向相反.方法二CD=-2AB,AB与CD共线且方向相反.跟踪训练2解:方法一ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数,使ka+b=(a-3b),即(k-3,2k+2)=(10,-4),k-3=10,2k+2=-4,解得k=-13.当k=-13时,ka+b与a-
28、3b平行,这时ka+b=-13(a-3b).=-130,ka+b与a-3b反向.方法二由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).ka+b与a-3b平行,(k-3)(-4)=10(2k+2),解得k=-13.此时ka+b=-13-3,-23+2=-103,-43=-13(a-3b).当k=-13时,ka+b与a-3b平行,并且反向.核心素养专练1.解析:ab,(-1)y-22=0,y=-4.答案:D2.解析:AB=(2,4),BC=(x-1,2),A,B,C三点共线,AB与BC共线,22-4(x-1)=0,x=2,BC=(1,2).AB=2BC,=2.故选D.答案:D3.解析:BC中点为D32,6,AD=-52,5,|AD|=525.答案:5254.解:a+2b=(1,2)+2(,1)=(1+2,4),2a-2b=2(1,2)-2(,1)=(2-2,2),又a+2b与2a-2b共线,2(1+2)-4(2-2)=0,=12.
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