1、4.1.2指数函数的性质与图像学习目标1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.初步运用指数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题,提升学生的数学运算和数学建模的核心素养.课堂探究考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时,会持续不断地吸收碳14,从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平;但当有机体死亡后,就会停止吸收碳14,其体内的碳14含量就会逐渐减少,而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半.你能用
2、函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗?一种死亡已经一万年的有机体,其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少?利用本节课我们要学习的指数函数知识,可以顺利解决情境中的问题.问题探究一:在以上情境中,假设有机体生存时碳14的含量为1,如果用y代表该有机体死亡x年后体内碳14的含量,则x=5 730时,y=12;x=25 730时,y=122=14.由此可知:x=35 730时,y=;x=5 730n时,y=;从而y与x的关系可以表示为.要点归纳1:指数函数的定义:一般地,函数称为指数函数,其中a是常数,.问题探究二:请同学们用描点法画出指数函数y=2x的图像,小组讨论完成以下问题:
3、观察y=2x的图像图像特征代数表述图像向x轴的、方向无限延伸定义域图像位于x轴的值域图像不关于和对称奇偶性续表自左向右看,图像单调性第一象限内的函数图像在y=1的上方当x0时,y第二象限内的函数图像在y=1的下方当x0时,y第二象限内的函数图像在y=1的下方当x0且a1?要点归纳2:由以上实例,归纳指数函数y=ax(a0且a1)的性质:0a1图像定义域值域性质定点单调性典型例题:例1(多选)若函数f(x)=12a-3ax(a0,且a1)是指数函数,则下列说法正确的是()A.a=8B.f(0)=-3C.f12=22D.a=4例2利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.(1)0.8-0.1
4、与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1.变式训练1已知实数a,b满足37a37b,试判断6a与6b的大小.变式训练2求不等式13x2-83-2x的解集.例3利用指数函数的性质与图像求方程3x=2x+1的解集.变式训练3利用指数函数的性质与图像求不等式13x-23x+1的解集.课堂练习1.下列的关系式:(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=x2;(5)y=x,其中是指数函数,理由是.2.函数y=ax-2(a0,且a1)的图像必过定点.3.将下列三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来:1323,34,13-2.核心素养专练1.(多选)若函数y=ax+b-1(
5、a0,且a1)的图像经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有()A.a1B.0a0D.b02.(多选)若指数函数y=ax在区间-1,1上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是()A.2B.12C.3D.133.(多选)已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列五个关系式中不可能成立的是()A.0baB.ab0C.0abD.ba0且a1问题探究二第一行:负半轴上方R第二行:上方(0,+)第三行:y轴原点非奇非偶函数第四行:上升递增第五行:(1,+)第六行:(0,1)问题探究三第一行:正半轴上方R第二行:上方(0,+)第三行:y轴原点非奇非偶函数第四行:下降递减第五行:(0,1)第六行:(
6、1,+)思考并回答下面问题:(1)(0,1)(2)(0,1)(3)其他范围没有研究的意义.要点归纳2:第一行:图像参考课本第二行:R第三行:(0,+)第四行:(0,1)第五行:单调递减单调递增典型例题例1解析:因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,所以a=8,所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f12=812=22,故B,D错误,A,C正确.故选AC.例2(1)(2)变式训练13-2x化为13x2-8132x.所以由指数函数的性质可知x2-82x,-2x4.例3解:函数y=3x和y=2x+1的图像如图:由图知方程的解集是0,1.变式训练3解:函数y=13x和y=-23x+1的图像如
7、图:由图知不等式的解集是x|x1.课堂练习1.(5)符合指数函数的定义2.(2,1)3.132313-20且a1?2.用列表描点法画出下列函数图像.(1)y=2x和y=12x(由1,2组完成).(2)y=3x和y=13x(由3,4组完成).x-2-1012y=y=3.指数函数的性质函数y=ax0a1图像定义域值域定点单调性课堂探究1.【探究一】比较大小例1利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.(1)0.8-0.1与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1;(3)1.70.3与0.93.1.学后反思:变式训练(1)已知实数a,b满足37a37b,试判断6a与6b的大小;(2)求函数
8、y=1-12x的定义域.2.【探究二】指数函数恒过定点问题例2(1)函数y=ax(a0且a1)必过定点;(2)函数y=ax+1(a0且a1)必过定点;(3)函数y=ax+1+1(a0且a1)必过定点.学后反思:变式训练函数y=a2x+b+1恒过定点(1,2),则b=.课堂小结:核心素养专练A组1.下列函数是指数函数的是()A.y=3-xB.y=32xC.y=3x2D.y=3x+12.比较两个值的大小.(1)15-121523;(2)1.72.51.73;(3)140.8121.8;(4)1.70.30.93.1.3.已知对不同的a值,函数fx=2+ax-1a0,a1的图像恒过定点P,则P点的坐
9、标是.4.解指数函数不等式.(1)12x2-22;(2)13x-80,a1.2.已知(a2+a+2)x(a2+a+2)1-x,求x的取值范围.3.已知f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为.4.求y=4x-2x+1+3,x(-,1的值域.5.函数f(x)=ax(a0,且a1)在区间-1,2中的最大值比最小值大a2,则a的值为.参考答案自主预习略课堂探究略核心素养专练A组1.B2.(1)(2)(4)3.(1,3)4.(1)1,+)(-,-1(2)(-,-85.(1)(-,0 (2)0,+) (3)(-,2B组1.当a1时,a0.5a0.6,当0aa0.6.2.由于a2+a+21恒成立,所以x1-x,即x12.3.(-,0)4.3,+)5.12或32
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