1、第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值课后篇巩固提升基础达标练1.(2020福建高二期末)定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f(x)图象如图所示,则下列结论不正确的是()A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增B.函数f(x)在区间-12,0单调递减C.函数f(x)在x=1处取得极大值D.函数f(x)在x=0处取得极小值解析根据导函数图象可知,f(x)在区间(-,0)上,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A,B,D正确,选项C错误.答案C2.函数y=2x2-ln x
2、的极值点为()A.0,12,-12B.12,-12C.12D.-12解析y=4x-1x,令y=4x-1x=0,可得x=12x=-12舍去,所以极值点为12.答案C3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10,则实数a,b的值为()A.a=3,b=-3或a=-4,b=11B.a=-4,b=2或a=-4,b=11C.a=-4,b=11D.以上都不对解析f(x)=3x2-2ax-b,f(1)=0,即2a+b=3,f(1)=a2-a-b+1=10,即a2-a-b=9,解由组成的方程组,得a=-4,b=11(有极值)或a=3,b=-3(无极值,舍去).答案C4.(2019广东高二期末)
3、已知x=1e是函数f(x)=xln(ax)+1的极值点,则a=()A.12B.1C.1eD.2解析f(x)=ln(ax)+1,由f1e=0,得a=1.又f(x)=lnx+1,当x1e时,f(x)0;当0x1e时,f(x)0,故x=1e是函数的极值点,故a=1成立.故选B.答案B5.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末)如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是()A.f(x)在-2,-1上是增函数B.当x=-1时,f(x)取得极小值C.f(x)在(-1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数D.当x=3时,f(x)取得极小值解析根据图象知当x(-2,-1)或x(2,
4、4)时,f(x)0,函数单调递增.故A错误;故当x=-1时,f(x)取得极小值,B正确;C正确;当x=3时,f(x)不取得极值,D错误.故选BC.答案BC6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1)处的切线斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b=.解析f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=3,f(23)=0,即3+2a+b=3,43+43a+b=0,解得a=2,b=-4,a+b=2-4=-2.答案-27.设aR,若函数y=ex+ax(xR)有大于零的极值点,则a的取值范围为.解析y=ex+ax,y=ex+a.当a0时,y0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没
5、有极值点.当a0时,令y=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a).当x(-,ln(-a)时,y0,故x=ln(-a)是函数的极值点,又ln(-a)0,-a1,即a-1.答案(-,-1)8.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1处取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x=1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.解f(x)=3ax2+2bx+c,(1)方法一:x=1是函数的极值点,x=1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系知-2b3a=0,c3a=-1,又f(1)=-1,即a+b+c=-1,由解得a=12,b=0,c=-32
6、.方法二:由f(1)=f(-1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0,又f(1)=-1,即a+b+c=-1,由解得a=12,b=0,c=-32.(2)f(x)=12x3-32x,f(x)=32x2-32=32(x-1)(x+1).当x1时,f(x)0,当-1x1时,f(x)0且a1,则函数f(x)=(x-a)2ln x()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值解析f(x)=2(x-a)lnx+(x-a)21x=(x-a)2lnx+x-ax,又g(x)=2lnx+x-ax在(0,+)上单调递增,x0,g(x)-;x+,g(x)+
7、,所以g(x)=2lnx+x-ax在(0,+)上有且仅有一个零点,设为x0,因为a1,则x0a,所以导函数f(x)有两个不同零点,因此函数既有极大值,又有极小值.故选C.答案C2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数
8、在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案D3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则ab的值为()A.-23B.-2C.-2或-23D.不存在解析f(x)=3x2+2ax+b且f(x)在x=1处取得极大值10,f(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,a2+8a+12=0,a=-2,b=1或a=-6,b=9.当a=-2,b=1时,f(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).当13x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.当a=-6,b=9时,f(x)=3x2-12x+9=3(x-
9、1)(x-3);当x0,当1x3时,f(x)0,则f(x)在0,)上单调递增.显然f(0)0,令f(x)=0,得sinx=-1x,分别作出y=sinx,y=-1x在区间-2,2)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间-2,2)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间-2,2)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点.故选BD.答案BD5.若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是.解析令f(x)=3x2-3=0,得x=1,则极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.如图,观察图象可知当-2a0,3-2-a0,3+
10、2-a0,1a0,f(-13)0,3(-13)2+2(-13)-a0,-13a0,故f(x)在(-,-2)内为增函数;当x(-2,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,+)内为增函数;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.素养培优练(2020湖南高二期末)对于函数f(x)=2sin x-x,x0,下列说法正确的有()f(x)在x=3处取得极大值3-3;f(x)有两个不同的零点;f()f20;当x3,时,f(x)0,f(x)在0,3上单调递增,在3,上单调递减,错误;f(x)在x=3处取得极大值,f3=2sin3-3=3-3,正确;f()=-,f3f()0,f(x)在3,必有一个零点,又f(0)=0,即x=0为f(x)的一个零点,f(x)在0,3无零点,f(x)恰有两个不同的零点,正确;f2=2sin2-2=2-2,f6=2sin6-6=1-6,f2-f6=2-2-1+6=1-30,f2f6,又f(x)在3,上单调递减,f()f2,f()f2f6,正确,则正确的命题为,故选C.答案C
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