1、第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.等比数列an中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于()A.2B.3C.48D.234解析等比数列an中,a1a2=2,a2a4=16,a2a4a1a2=q3=8,则公比q=2,故选A.答案A2.(多选)(2020福建厦门一中高一月考)设an为等比数列,给出四个数列:2an;an2;2an;log2|an|,其中一定为等比数列的是()A.B.C.D.解析设等比数列an的公比为q,则2an2an-1=anan-1=q,故2an是等比数列;an2an-12=anan-12=q2,故an
2、2是等比数列;取等比数列an=(-1)n,则2an的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log2|an|=0,log2|an|不成等比数列.故选AB.答案AB3.已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2解析设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.答案C4.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析a4=a1
3、+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,a32=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.32n-1C.23n-1D.12n-1解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32.又S1=a1=1,所以Sn=32n-1,故选B.答案B6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.解析设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,q5=132,q=12.这4个数
4、依次为80,40,20,10.答案80,40,20,107.在数列an中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=.解析由2an+1-an=0,得an+1an=12,所以数列an是等比数列,公比为12.因为a1=3,所以an=312n-1.答案312n-18.在等比数列an中,若a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=1825=4,而a4与a8的等比中项是a6,故a4与a8的等比中项是4.答案49.已知数列an是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2bn=an.(1)求证:数列bn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式.
5、(1)证明由log2bn=an,得bn=2an.因为数列an是等差数列,不妨设公差为d,则bnbn-1=2an2an-1=2an-an-1=2d(n2),2d是与n无关的常数,所以数列bn是等比数列.(2)解由已知,得a1+d=3,a1+3d+3(a1+4d)=56,解得a1=-1,d=4,于是b1=2-1=12,公比q=2d=24=16,所以数列bn的通项公式bn=1216n-1.10.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1.(1)证明:数列an+1是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1).由a1=1,知a1+10,从而an
6、+10.an+1+1an+1=2(nN*).数列an+1是等比数列.(2)解由(1)知an+1是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.an+1=22n-1=2n.即an=2n-1.能力提升练1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得2b=a+c,b2=(a+1)c,b2=a(c+2),解得a=8,b=12,c=16.答案D2.在等比数列an中,a1=1,公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析am=a1a2a3a4a5=qq2q3q4=q10=1
7、q10,m=11.答案C3.(多选)(2019山东滕州第一中学新校高二月考)已知数列an,bn是等比数列,那么下列一定是等比数列的是()A.kanB.1anC.an+bnD.anbn解析由题意,可设等比数列an的公比为q1(q10),则an=a1q1n-1,等比数列bn的公比为q2(q20),则bn=b1q2n-1,对于A,当k=0时,kan显然不是等比数列,故A错误;对于B,1an=1a1q1n-1=1a11q1n-1,数列1an是一个以1a1为首项,1q1为公比的等比数列,故B正确;对于C,举出反例,当an=1,bn=-1时,数列an+bn不是等比数列,故C错误;对于D,anbn=a1b1
8、(q1q2)n-1,数列anbn是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.故选BD.答案BD4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则a2-a1b2=.解析由题意,得a2-a1=-1-(-7)3=2,b22=(-4)(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以a2-a1b2=2-2=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an0,所以q2+q-1=
9、0,解得q=-1+52q=-1-52舍去.答案-1+526.若数列a1,a2a1,a3a2,anan-1,是首项为1,公比为-2的等比数列,则a5=.解析由题意,得anan-1=(-2)n-1(n2),所以a2a1=-2,a3a2=(-2)2,a4a3=(-2)3,a5a4=(-2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a1=(-2)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解(1)由题意可得a2=12,a3=14.(2)由an2-(2an+
10、1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=12.故an是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1,nN*.8.已知数列an的前n项和Sn=2an+1,(1)求证an是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列bn是等比数列.证明(1)Sn=2an+1,Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,an+1=2an.由已知及上式可知an0.由an+1an=2知an是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,an=-
11、2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,bn=an+1+2an=-2n-22n-1=-22n=-2n+1=-42n-1.bn+1bn=-42n-42n-1=2.数列bn是等比数列.素养培优练已知数列cn,其中cn=2n+3n,数列cn+1-pcn为等比数列,求常数p.解因为数列cn+1-pcn为等比数列,所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),将cn=2n+3n代入上式得,2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2n+3n-p(2n-1+3n-1),整理得16(2-p)(3-p)2n3n=0,解得p=2或p=3.
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