1、南京市第五高级中学高三数学一模热身测一单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1. “”是“向量，则”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A2. 函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B3. 已知，则，大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C4. 已知函数，下列说法正确的个数为（ ）的图象的一个对称中心为的图象的一条对称轴为的单调递增区间是函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B5. 已知，为锐角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 圆C：上恰好存在2个点
2、，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B7. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C8. 已知，有如下结论：有两个极值点；有个零点；的所有零点之和等于零.则正确结论的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，
3、其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）附:随机变量服从正态分布，则，.A. 该市学生数学成绩的标准差为100B. 该市学生数学成绩的期望为100C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】BC10. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D11. 已知函数，则（ ）A. 函数为偶函数B. 函数为奇函数C. 函数在区间上的最大值与最小值之和为0D. 设，则的解集为【答案】BCD12. 在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为，记x，y关于的表达
4、式分别为，则下列说法正确的是（ ）A. 是偶函数，是奇函数B. 在为增函数，在为减函数C. 对于恒成立D. 函数的最大值为【答案】ACD三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在展开式中，偶数次幂项的系数之和为8，则_.【答案】14. 已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为_.【答案】15. 平行四边形中，点满足，点满足，则_【答案】016. 在中，为的中点，则面积的最大值为_.【答案】四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 已知函数（1）求的最小正周期；（2）讨论在区间上
5、的单调性；【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.18. 已知数列，为数列的前n项和，若，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求【答案】（1） （2）证明见解析 （3）19. 在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）20. 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲
6、、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，.21. 已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点DE，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；（3）设AB分别是的左右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.【答案】（1） （2） （3）证明见解析22. 已知，函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上存在两个不同的极值点.求的取值范围；若当时恒有成立，求实数的取值范围.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）；.