1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第四节 数列求和Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.掌握一些简单的数列求和的方法2.能应用数列求和解决一些数列问题考试热点1.以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的前n项和2.以考查等差、等比数列的前n项和为主，同时考查错位相减法、裂项相消法、分组求和法等常用方法.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1公式法 对于等差数列和等比数列，在求和时可直接套用它
2、们的前n项和公式：等差数列前n项和公式：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 等比数列前n项和公式：Sn 另外，还有一些常见常用的求和公式：123n，135(2n1)，122232n2n2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2倒序相加法 一个数列如果相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法如等差数列前n项和公式的推导 3错位相减法 如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积，各项的第一个因子成公差为d的等差数列，第二个因子成公比为q的等比数列，可将此数列前n项的和乘以，然后错位相减从而求出Sn.距首末两项等距离的两项和公比qCopyright 2
3、004-2009 版权所有 盗版必究 4拆项分组法 把不能直接求和的数列分解成的数列，分别求和 5裂项相消法 把数列的每一项变为，以便大部分项能“正”、“负”相消，只剩下有限的几项裂项时可直接从通项入手，并且要判断清楚消项后余下哪些项，常用裂项公式为：几个可以求和两数之差Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 6并项转化法 有时候把两项并成一项考虑，这可以实现我们的转化目的通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1等差数列an的通项公式为 an2n1，则由 bna1a2ann所确定的数列bn的前 n 项和为()A
4、n(n2)B.12n(n4)C.12n(n5)D.12n(n1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：an2n1，a1a2 an 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200 C400 D400 解析：S100(15)(913)4(n1)3(4n3)50(4)200.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3若数列an的通项公式为an，则前n项和为()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析
5、：ann2n，Sn1122 122n 12n，12Sn11222 123(n1)12nn 12n1，得12Sn12 122 12n n2n1，Sn112 12n1 n2n1 12n112 n2n2 12n1 n2n.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4122334n(n1)_.解析：数列an的通项为ann(n1)n2n.数列an的前n项和Sn(123n)(122232n2)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 转化为等差
6、(比)数列求和 例1 已知等差数列an中，它的前n项和为Sn，如果Sn2(nN*)，bn(1)nSn，求数列bn的前n项和Tn.分析 求出数列bn的通项bn是解题的关键Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 d2或d2.经检验d2不合题意，应舍去 故an2n1，Snn2，bn(1)nn2.(1)当n为偶数时，Tn12223242(1)nn2(2212)(4232)n2(n1)2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当 n 为奇数时，TnTn1bn1(n1)(n2)2(n1)2n(n1)2.所以 Tn(1)nn(n1)2.解法 2：Snan122.当
7、 n2 时，Sn1an1122.anan122an1122.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 整理得(anan1)(anan12)0.a11而Sn0故d0，an0，anan120，anan12，公差d2.an2n1，Snn2，下面同解法1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题中已知数列an为等差数列，故可以用解法一，通过求a1，a2，进而求公差d，而解法二是借助an与Sn的关系式去求公差d，所以对此类问题既要抓住已知条件，运用“特值”的思想，又要联系一般规律(an与Sn的关系)去解决Copyright 2004-2009 版权所有
8、 盗版必究 已知数列an通项an 求其前n项和Sn.解：当n为奇数时，奇数项组成以a11为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 当 n 为偶数时，奇数项和偶数项各有n2项Snn2(16n5)24(14n2)14n(3n2)24(2n1)3.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分组求和法 例2 求下面数列的前n项和：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 当 a1 时，Snn；当 a1 时，Sn an1anan1，Sn147(3n2)(3n1)n2.当 a1
9、时，SnSnSnn(3n1)n2(3n1)n2；当 a1 时，SnSnSn an1anan1(3n1)n2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 求和：(1)Sn111111Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当 x1 时，(xn1xn)24，Sn4n，当 x1，anx2n2 1x2n，Sn(x2x4x2n)2n(1x21x4 1x2n)x2(x2n1)x21x2(1x2n)1x22n(x2n1)(x2n21)x2n(x21)2n，所以当 x1 时，Sn4n；当 x1 时，Sn(x2n1)(x2n21)x2n(x21)2n.Copyright
10、2004-2009 版权所有 盗版必究 错位相减法求和 例3 设数列an满足a13a232a33n1an，aN*.(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334n3n1，2Sn332333nn3n1，2Sn33n113 n3n1，Snn23n1143n134.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 错位相减法这种方法主要用于anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列，是高考试题中常见题型Copyright
11、 2004-2009 版权所有 盗版必究 设an为等比数列，a11，a23.(1)求最小的自然数n，使an2007；解：(1)由已知条件得an1()n13n1.因为36200737，所以，使an2007成立的最小自然数n8.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)因为 T2n1123 332 433 2n32n1，13T2n13 232 333 4342n132n1 2n32n，得43T2n113 132 133 132n12n32n1 132n1132n32n332n38n432n，所以 T2n32n2924n1632n.Copyright 2004-2009 版权所
12、有 盗版必究 裂项法求和 例4 等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11，且b2S264，ban是公比为64的等比数列(1)求an与bn；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)解 设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有ban1ban q3nd1q3(n1)d1qd6426，b2S2(6d)q64，由(6d)q64 知 q 为正有理数，又由 q26d知，d为 6 的因子 1,2,3,6 之一，解得 d2，q8，故 an32(n1)2n1，bn8n1，Copyright 2004-20
13、09 版权所有 盗版必究(2)证明 Sn35(2n1)n(n2)，所以 1S1 1S2 1Sn 113 124 1351n(n2)12113121413151n 1n212112 1n1 1n2 34.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)形式，常采用裂项求和的方法特别地，当数列形如 ，其中an是等差数列，可尝试采用此法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S2nan(Sn12)(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bnSn2n1，求b
14、n的前 n 项和 Tn.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)S2nan(Sn12)，anSnSn1(n2)，S2n(SnSn1)(Sn12)，即 2Sn1SnSn1Sn由题意 Sn1Sn0，故式两边同除以 Sn1Sn，得1Sn 1Sn12.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 数列 1Sn是首项为 1S1 1a11，公差为 2 的等差数列，1Sn12(n1)2n1，Sn12n1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)bnSn2n11(2n1)(2n1)12(12n112n1)，Tnb1b2bn12(113)(1315)(12n112n1)12(112n1)n2n1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程 2注意观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和 3求一般数列的前n项和，无通法可循，我们要掌握某些特殊数列前n项和的求法，触类旁通 4利用等比数列的求和公式时，一定要分q1和q1两种情况讨论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究