1、开鲁一中2020-2021学年度第一学期高二理科数学期中试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.2. 已知命题 R，则A. R, B. R, C. R, D. R, 【答案】C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的
2、条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为考点：全称命题与特称命题的否定3. 不等式的解集为（ ）A. B. 或 C. D. 或 【答案】B【解析】【分析】利用公式可求该不等式的解.【详解】因为，故或，所以或，故选：B.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般地，的解为或；的解为，本题属于基础题.4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法
3、，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 若双曲线的离心率为，则C的虚轴长为（ ）A. 4B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用离心率得到关于的方程，求出其解后可得虚轴长.【详解】因为双曲线的离心率为，故，解得，所以虚轴长为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线中各几何量计算公式的正确应用，如虚轴长指，本题属于基础题.6. 若实数、满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以绘出约束条件所表示的平面区域，然后将看作经过点与点的直线的斜率，最后结合图像即可得出结果.【详解】如图，
4、绘出约束条件所表示的平面区域，因为可以看作经过点与点的直线的斜率，结合图像易知，当直线经过点时，斜率最小，所以的最小值为，故选：A.【点睛】本题考查线性规划的相关问题，主要考查通过线性规划求目标函数的最值，能否绘出约束条件所表示的平面区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，是基础题.7. 若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得出、的等量关系，进而可求得该椭圆的离心率.【详解】由于椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则，则离心率，故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于基础题.8. 已知，则下列结
5、论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得，再根据不等式的性质判断选项.【详解】，A. ，成立，故A正确；B.，故B正确；C.，故C不正确；D. ，根据单调性可知，故D正确.故选：C9. 已知椭圆C：的焦点为，过点直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义，可求得的周长为，即可得到答案.【详解】根据椭圆的定义，的周长为，的周长为.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意10. 已知双
6、曲线（）与双曲线（）有相同的渐近线，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程求渐近线方程，结合条件列方程，即得结果，即可选择.【详解】的渐近线方程为，的渐近线方程为，由题意可知，所以，故选：A.【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.11. 已知a，则的最大值为（ ）A. 18B. 9C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值.【详解】由题意，当且仅当时等号成立，当，时，故的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题
7、.12. 已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求解，可得椭圆方程，设，由，得，再由在椭圆上，转化为关于的二次函数求解.【详解】解：由题意知：，椭圆.设，且，又，.，当时，的最大值为，故选：.【点睛】本题考查直线与椭圆方程综合应用，直线方程的求法，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力.二.填空题（共4小题，每题5分，计20分）13. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程_【答案】【解析】【分析】先由椭圆方程确定焦点位置，确定所求双曲线方程形式：，再根据两个独立条
8、件求量：一是焦距，二是离心率，解方程组得，【详解】椭圆的焦点坐标为， 设双曲线的方程为， 则， 解得，所以 双曲线的方程是14. 曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是_.【答案】【解析】【分析】根据曲线表示焦点在轴上的椭圆，列不等式求解.【详解】曲线是焦点在轴上的椭圆，解得：.故答案为：15. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用条件，可变形后利用均值不等式求最值.【详解】因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立.故答案为：【点睛】本题主要考查了均值不等式的使用，“1”的变形，属于中档题.16. 设椭圆的右顶点为、右焦点为为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段，则椭圆
9、的离心率是_【答案】【解析】试题分析：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即考点：椭圆的离心率三.解答题（共计70分，写出必要的文字说明或计算步骤）17. 已知数列满足：，.（1）求及通项；（2）设是数列的前项和，则数列，中哪一项最小？并求出这个最小值.（3）求数列的前10项和.【答案】（1），；（2）最小，；（3）前10项和为：.【解析】【分析】（1）先由递推公式求出，再判断出数列等差数列，写出通项公式即可；（2）判断出等差数列的正负项，即可求出的最小值；（3）判断各项的正负性，去掉绝对值，代入计算即可.【详解】（1），当时，由知数列为首项是，公差为4的等差数列，故；
10、（2），故，故最小，；（3）当时，；当时，.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，前项和公式，等差数列的前项和的最值问题，考查了学生灵活运用公式求解的能力.18. 已知函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式.恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，解不等式；（2）首先利用绝对值三角不等式求的最小值，再利用不等式，求的取值范围.【详解】（1）时，不等式为.当时，不等式化为，此时； 当时，不等式化为恒成立，此时； 当时，不等式化为，此时. 综上，不等式的解集为； （2）， 恒成立，又，解得或，即的取值范围是.
11、【点睛】方法点睛：本题考查了分段函数的最值、证明不等式，常见方法有以下几种.（1）去绝对值，将函数化为分段函数，利用分段函数的图像可求最值.（2）利用绝对值三角不等式求最值.（3）证明不等式方法：作差法、作商法.（4）构造函数，利用导函数证明不等式.19. 在中，角所对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若， 的面积为，求该三角形的周长.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，转化为，再利用三角恒等变形，计算的值，再求角的大小；（2）根据（1）的结果，利用三角形的面积公式求得，再结合余弦定理个求的值，最后求周长.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理知，又因为
12、所以，即 ，, ， （2） 又 ，周长.【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第（2）问中结合（1）的结果，利用余弦定理得到，先配方求出的值.20. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明：.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明，即证，根据绝对值的不等式求出，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当时，解得，所以；当时，；当时，解得，所以.综上，不等式的解集为.（2）证明：因为为正数，则等价于对任意的恒成立.又因为，且
13、，所以只需证，因为，当且仅当时等号成立.所以成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.21. 已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件建立关于的方程，解椭圆的方程；（2）法一：设直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，求的值；法二：设直线的方程为，联立方程后，构造，再转化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求.【详解】（1）由已知， 又，解得，椭圆的方程为. （2）法一：设，
14、PQ方程为，与椭圆方程联立，得， 所以 ， 即，解得 直线的方程为即. 法二：设直线的方程为，则由可得，即，直线的方程为即.【点睛】方法点睛：求直线方程常用待定系数法，先定式，后定量.先定式，指的是根据已知从直线的5种形式里选择恰当的一种作为直线的方程，再通过联立直线与曲线方程，利用根与系数的关系，表示方程，解方程求出待定系数.22. 已知椭圆：，点，.（）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（）-1；（）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得 又点到直线的距离 当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.