1、_2019-2020学年北京二十中高一第二学期期末数学试卷一选择题1. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. -4B. 4C. -1D. 1【答案】C【解析】【分析】可求出，从而可得出，解出的值即可.【详解】由题意，向量，所以，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于容易题.2. 已知三条直线，满足：与平行，与异面，则与（ ）A. 一定异面B. 一定相交C. 不可能平行D. 不可能相交【答案】C【解析】【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法
2、结合平行公理即可得到与不可能平行.【详解】如图所示：与可能异面，也可能相交，不可能平行用反证法证明一定不平行，假设，又，则，这与已知与异面矛盾，所以假设不成立，故与不可能平行.故选：C.【点睛】熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于基础题3. 已知锐角满足，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用同角三角函数间的基本关系求解.【详解】锐角满足，故选：D.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，属于基础题4. 已知是锐角，且，则为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 30或60【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量
3、垂直的性质、数量积的坐标运算、特殊角的三角函数值可得出结论.【详解】，且，求得，由是锐角，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算、已知三角函数值求角.5. 在下列函数中，与函数的图象相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，即可得结论.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，所以 与函数的图象相同.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式及其应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，属于容易题.6. 2020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投
4、放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）A. 50米B. 57米C. 64米D. 70米【答案】D【解析】【分析】画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.【详解】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，则李华的行走路线，如图所示，在中，因为，由余弦定理可得：米，即李华回到自家楼下至少还需走70米.故选：D.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7. 在中，是的
5、中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量加减法法则中点的性质即可得出.【详解】解：是的中点，故选：A.【点睛】本题考查向量加减法则，考查数乘的意义属于基础题8. 已知函数的图象与函数的图象没有公共点，则实数的值可以为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】等价于方程无解，求出的值域，可得使无解的的范围，即得解.【详解】函数的图象与函数的图象没有公共点，即方程无解，也就是无解，设，则，即或.故选：D.【点睛】本题主要考查函数图象的交点个数问题，考查方程的解的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 在中，则的取值范围（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可得出，进而得出，而根据正弦定理可得出，然后即可得出的取值范围.【详解】解：，由正弦定理得，的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查正弦函数的性质，属于基础题10. 如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合正四棱锥性质，利用，代入数据直接计算即可.【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，连接、，设交点为点，连接，则平面，且，底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，设点到平面的距离为，由，即，解得故选：A.【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥
7、的性质与棱锥的体积掌握正棱锥的计算是解题关键二填空题.11. 已知向量，则其夹角_.【答案】【解析】【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为向量，所以；所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. 若，则可以为_.(写出一种即可)【答案】，或，答案从中任取一个即可.【解析】【分析】由题意利用二倍角的余弦公式求得，可得的值.【详解】，即，即，或，.故答案为：，或，答案从中任取一个即可.【点睛】本题主要考查的是三角函数的倍角公式，较简单.13. 已知，是不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若，则；且，则；若，
8、则.所有正确命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】对于，由面面垂直的判定定理得；对于，或；对于，由线面垂直的性质得.【详解】解：由，是不重合的两条直线，为不重合的两个平面，知：对于，若，则由面面垂直的判定定理得，故正确；对于，若且，则或，错误；对于，若，则由线面垂直的性质得，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查线面平行与面面垂直的判定，线面垂直性质，掌握空间直线、平面的平行关系的判定方法是解题基础14. 已知函数(，)的图象如图所示，则的值为_.【答案】2【解析】分析】根据图象可得函数过点，代入解析式，计算可得值，再由五点法即可得值.【详解】解：由题意函数的图象过点，所以，.又由“五点法”，
9、故答案为：2.【点睛】本题考查由三角函数的图象求解析式，掌握正弦函数图象的“五点法”是解题关键15. 在 中，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围，再结合余弦定理可以用表示，求出的范围，进而求得的取值范围.【详解】解：在中，内角，的对边分别是，由题意得，即，令，所以，所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的取值范围为.所以又因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.三解答题16. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期及的图象的对称轴；（2）
10、完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数在一个周期内的图象.【答案】（1）最小正周期为，对称性，；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用函数的周期性和对称性，求得的最小正周期和对称轴.（2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数的一个周期内的图象.【详解】解：（1），故它的最小正周期为，令，（2）由题意可得表格如下：00200图象如下：【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题关键17. 如图所示，在三棱锥中，点分别在棱上，且.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析
11、】（1）由，利用直线与平面平行的判断定理，证明平面.（2）推导出，从而平面，由此能证明平面平面.【详解】（1）在三棱锥中，点分别在棱上，且.平面，平面，平面（2），平面，平面平面平面.【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，较简单.18. 在中，.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理，求角的余弦函数值，然后推出的大小；（2）直接利用三角形的面积公式求的面积.【详解】（1）在中，.（2）的面积，.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于基础题.19. 已知函数.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案
12、】（1）；（2）最大值2，最小值.【解析】【分析】（1）化简可得，即可求出值；（2）由，可得，于是可求出在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）因为，（2）由，可得，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值.【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.20. 已知中，.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求证：为的角平分线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出即可.（2）求出，利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出和，即可判断.【详解】解：（1）在中，.所以.（2）证明：点在线段上，且，因为，所以，由余弦定理,，
13、解得,中，中，所以为的角平分线.【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.21. 已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的中点.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使？若存在，求BF的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，即证；（2）以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）平面，平面，底面为正方形，平面，平面，；（2）如图，以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设，则，要使，则，解得，所以棱上是否存在点，使，此时；【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查向量法解决点的存在性问题，属于基础题.
