1、北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则集合A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的运算性质计算即可.【详解】集合，所以集合，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据单调性的定
2、义对选项逐一判断即可.【详解】对于在定义域内是增函数，不满足题意；对于在递减，在递增，不满足题意；对于定义域内是减函数，满足题意；对于在和都单调递减，但在整个定义域没有单调性，不满足题意，故选C.【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.若，则有A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，可排除选项，利用不等式的性质可证明.【详解】令，可排除选项，对，又，同理，即，即，故选B.【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.4.“a=0”是“为奇
3、函数”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】，的图象关于原点对称，所以是奇函数；若为奇函数，则，即不能推出，所以，是为奇函数充分非必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.5.下列不等式中，不正确的是A. B. C. D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用特殊值判断；利用判别式判断；利用单调性判断；利用基本不等式判断D.【详解】在中，若，则，故不
4、成立；在中， ，不等式的解集为，故成立；在中，,设,在上递增，所以有最小值，故成立；在中，当且仅当时取等号，的最小值为5，成立；不正确的结论是，故选A.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）6.函数满足对任意的x，均有，那么，的大小关系是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的图象开口朝上，
5、由可得函数图象以为对称轴，由此可得函数在上为减函数，从而可得结果.【详解】函数对任意的均有，函数的图象开口朝上，且以为对称轴，函数在上为减函数，故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的对称性与二次函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.若函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5【答案】C【解析】试题分析：因为，所以选D考点：二分法求零点8.已知为定义在-1，1上的奇函数，且在0，1上单调递减，则使不等式成立的x的取值范围是A. B. C. D. 【答案】
6、B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性将不等式再转化为,结合函数的定义域，列不等式组求解即可.【详解】因为为奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减所以化为，,又因为的定义域是，所以，解得，使不等式成立的x的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。9.已知
7、集合，且，则实数a=_。【答案】0或1【解析】【分析】先求出集合中的元素，根据并集的运算，求出的值即可.【详解】或，因为集合，由，得或，当时，方程有两个相等实数根0，当时，方程有两个实数根0，1，故答案为0或1.【点睛】本题主要集合的表示方法以及集合的基本运算，属于简单题. 集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或图进行处理10.设，则_【答案】-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，所以 ，故答案为-1.【点睛】
8、本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值11.已知命题，则为_；其中为真命题的是_（填“p”或“”）【答案】 (1). : (2). p【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”即可得，根据不等式的性质可判断真假.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，且需改写全称量词为存在量词，所以全称命题命题，的否定是特称命题；当时，,所以可判断真假，故答案为: ， .【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题
9、和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.12.函数，则该函数的定义域为_，值域为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由求得函数的定义域；设,可得,解不等式可得函数的值域.【详解】要使函数有意义，则求得，即函数的定义域为；设,可得,解得或,即函数的值域为，故答案为 ， .【点睛】本题主要考查函数的定义域与函数的值域，属于中档题. 求函数值域的基本方法：观察法；利用常见函数的值域，一次函数的值域为，反比例函数的值域为，指数函数的值域为，对数函数的值域为，正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为；
10、分离常数法；换元法；配方法；数形结合法；单调性法；基本不等式法；判别式法；有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域13.定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .【答案】【解析】由新定义运算知，因为，所以，当且仅当时，的最小值是.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.14.函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：；，则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由令可求得再令可得，由，令，求得，可得，利用非减函数的定义可得，故，从而可得结果.【详解】依题意知，由，令得；因为，令 ，令，函数在
11、上为非减函数，故，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.已知集合，.（1）当m=8时，求；（2）若，求实数m的值.【答案】（1）；（2）实数m的值为15.
12、【解析】【分析】(1)运用分式不等式和一元二次不等式的解法，化简集合，再由补集和交集的定义，即可得到；(2)由并集的定义可得是的根，将，代入，计算即可得到的值.【详解】（1）化简 或，时，.（2）若，则是的根，.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与并集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.16.已知函数.（1）函数是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：在（1，+）上为增函数.【答案】（1）函数不具有奇偶性，理由见解析；（2
13、）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，利用奇偶性的定义可得即不是奇函数，又不是偶函数；（2）任取，则，可得，从而可得结果.【详解】（1），即不是奇函数，又不是偶函数.（2）任取，则，是增函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.17.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看
14、作一次函数的关系（图象如图所示）（1）根据图象，求该一次函数的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为s元。求s关于x的函数表达式；求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价。【答案】（1）（2），时【解析】试题分析：（1）由图像可知，解得，所以（2）由（1）,，由可知，其图像开口向下，对称轴为，所以当时，即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件考点：函数求解析式求值点评：第一问待定系数法求函数解析式是常用方法，第二问求函数最值要注意实际问题定义域的取值范围18.已知函数，其中a,.（1）当，时，求在区间-5，5上的值域；（2
15、）当时，对任意的，都有成立，求实数b的取值范围；（3）若函数的图像过点（-2，-1），且在区间（1，2）上有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据二次函数的几何性质可得在上递增；在上递减，从而可得结果；(2)时，要使在恒有，则，从而可得结果；（3）由在上有一个零点，结合零点存在定理可得，从而可得结果.【详解】（1）时，的图象开口向下，对称轴，在上递增；在上递减，值域是.(2)时，要使在恒有，则，解得.(3)图象过，得，在上有一个零点，即，的取值范围是.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数在闭区间上的最值、零点存在定理的应用，属于中
16、档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.19.设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，求不等式的解集；【答案】（1）的单调减区间为，无单调增区间；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【解析】【分析】(1) 时，利用一次函数与二次函数的单调性可得结果；（2）时，不等式转化为，或， 利用分类讨论思想分别解不等式组，求并集即可得结果.【详解】(1)时，因为的斜率为负值，所以由一次函数性质得在上递减；的图象开口向下，对称轴为，由二次函数性
17、质得在上递减，没有增区间.(2)时，不等式转化为，或， 若时，解集为；解集为，不等式解为.若时，解集为；解集为，不等式解为,综上所述，时不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的解析式与性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.20.已知函数的定
18、义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.（1）若是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。（2）若是“一阶比增函数”，求证：对任意，总有；（3）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：关于x的不等式有解.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意得在是增函数，由一次函数性质；（2）由，可得，两式相加化简即可得结果；（3）取，满足，记，由（2）知，同理，所以一定存在，使得.【详解】（1）由题意得在是增函数.由一次函数性质知：当时，在（）上是增函数，（2） 是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又 ，有，（3）设，其中，因为是“一阶比增函数”，所以当时，.取，满足，记，由（II）知，同理，所以一定存在，使得，所以一定有解.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
