1、数学试卷 说明:1.考试时间120分钟,满分150分。2.将卷答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。卷(选择题 共60分)一单项选择题(共8小题,每小题5分,计40分。在每小题给出的四个选项中,只有1个选项符合题意)1. 复数的共轭复数是A. B. C. D. 2. 命题“,”的否定是A. ,B. ,C. ,D. ,3. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D. 4. 已知两点,直线l:与线段AB相交,则直线l的斜率取值范围是A. B. C. D. 5. 设p:,q:,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是A. B. C. D. 6. 如果椭圆的弦被点平
2、分,则这条弦所在的直线方程是A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为,c为其半焦距长,圆:与双曲线的一条渐近线的两个交点分别为坐标原点O和点P,若与圆相切,则双曲线的离心率为 A. B. C. 2D. 二
3、不定项选择题(共4小题,每小题5分,计20分)9. 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是A. 若两个三角形全等,则这两个三角形相似B. 若,则C. 若,则D. 若,则10. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为若直线上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取可以是A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知动点P在双曲线上,双曲线C的左、右焦点分别为、,下列结论正确的是 A. C的离心率为2B. C的渐近线方程为C. 动点P到两条渐近线的距离之积为定值D. 当动点P在双曲线C的左支上时,的最大值为12. 已知是椭圆长轴上的两个顶点,点P是椭圆上异于的任意一点
4、,点Q与点P关于x轴对称,则下列四个命题中正确的是A. 直线与的斜率之积为定值B. C. 的外接圆半径的最大值为D. 直线与的交点M在双曲线 上 卷(非选择题 共90分) 三填空题(共4小题,每小题5分,计20分。其中15题第一空2分,第二空3分)13. 若动点P与定点的距离和动点P与直线l:的距离相等,则动点P的轨迹方程是_14. 已知圆,直线,则直线l截圆C所得弦长的最小值为_15. 已知,直线AM的斜率与直线BM的斜率之差是1,则点M的轨迹C的方程是_若点F的坐标为,P是直线l:上的一点,Q是直线PF与轨迹C的交点,且,则_16. 已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点,P、Q分别为双曲线和
5、椭圆上不同于两点A、B的动点,且有,设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、,则_四 解答题(共6小题,17题10分,18-22题,每题12分)17. 若直线l的方程为若直线l与直线m:垂直,求a的值若直线l在两轴上的截距相等,求该直线的方程18. 已知直线截圆所得的弦长为,直线的方程为求圆O的方程;若直线过定点P,点在圆O上,且,Q为线段MN的中点,求Q点的轨迹方程19. 已知圆:求过点的圆的切线方程;点为圆上任意一点,求的最值20. 设抛物线的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB中点M的横坐标为2,且求抛物线C的标准方程;若直线斜率存在经过焦点F,求直线l的方程21.
6、 已知椭圆C:的左,右焦点分别为,且经过点求椭圆C的标准方程;若斜率为2的直线与椭圆C交于A,B两点,求面积的最大值为坐标原点22. 已知抛物线C:经过点过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,点A,B不同于点,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N求直线l的斜率的取值范围;设O为原点,求证:为定值答案1.【答案】C【解析】解:复数,故它的共轭复数为,故选:C2.【答案】C【解析】解:命题“,“的否定是,故选:C3.【答案】D【解答】解:抛物线的方程为:,变形可得,其焦点在y轴正半轴上,且,则其焦点坐标为,故选:D4.【答案】A【解答】解:直线l:,即,令,解得可得直线l经过定点,直线l:
7、与线段AB相交,则直线l的斜率取值范围是故选:A5.【答案】A【解析】解:p:,解得:,q:,解得:若q是p的必要不充分条件,则,解得:故选:A6.【答案】D【解答】解:设过点A的直线与椭圆相交于两点,则有,式可得:,又点A为弦EF的中点,且,即得过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是,即故选D7.【答案】C【解答】解:设点A关于直线的对称点根据题意,为最短距离,先求出的坐标的中点为,直线的斜率为1,故直线的方程为,即由,联立得,则,故A,则“将军饮马”的最短总路程为故选:C8.【答案】C【解答】解:由题意,不妨设一条渐近线方程为,与圆:联立,消去y化简整理得,解得,代入得,点P的坐标为,又与
8、圆相切,直线与直线垂直,即,化简整理得,又代入得,解得,即,双曲线的离心率为2故选C9.【答案】BCD【解答】解:A选项若两个三角形全等,则一定这两个三角形相似,但两个三角形相似未必全等,故p不是q的必要条件B选项,由,无法推出,如,但是反之成立,即满足p是q的必要条件;C选项,由,无法得到,如,时有,但是,反之成立;D选项,若,则,即,反之则,满足p是q的必要条件故选BCD10.【答案】AB【解答】解:,过P所作的圆的两条切线相互垂直,、圆心C以及两切点构成正方形,则,即P点的轨迹为,又P在直线上,所以与有交点,则圆心距,计算得到,故答案为AB11.【答案】AC【解答】解:因为双曲线方程,所
9、以,所以,所以离心率故A选项正确;B.因为双曲线方程,所以,所以渐近线方程,故B选项错误C.因为双曲线方程,所以,所以渐近线方程,设动点则即则动点到两渐近线的距离分别为,由点到直线的距离公式可得:,所以为定值,故C选项正确;D.因为双曲线方程,所以,因为动点P在双曲线C的左支上,由双曲线的定义可知:所以,所以当且仅当,也即取等号,故D选项不正确;故选AC12.【答案】BCD【解答】解:对于A,设点P的坐标为,则,解得,故A错误;对于B,由A可得,故,故B正确;对于C,设点P的坐标为,的外接圆的圆心为,半径为r,则,化简得,当且仅当时取等号,即的外接圆半径的最大值为,故C正确;对于D,由A得,的
10、方程为,的方程为,两式相乘得,代入化简得,即直线与的交点M在双曲线上,故D正确故选BCD13.【答案】【解析】解:因为定点在直线l:上,所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线,就是经过定点F与直线l:垂直的直线所以动点P的轨迹方程是,即故答案为:14.【答案】【解答】解:直线l的方程为,整理为:,由得,直线l过定点,圆C的圆心为,直线l被圆C截得弦长最短,则M是弦的中点,则,此时,则,故答案为15.【答案】【解答】解:设,则,整理得点M的轨迹C的方程是,作轴于E点,记l与y轴交于N点,因为点为轨迹C的焦点,所以,因为,所以Q点的纵坐标为,故,故答案是16.【答案】0【解析】解
11、:由题意,O、P、Q三点共线设、,点P在双曲线上,有所以又由点Q在椭圆上,有同理可得、P、Q三点共线由、得故答案为:0设、,利用斜率公式得到;同理可得,结合O、P、Q三点共线即可得出的值本小题主要考查椭圆的几何性质、双曲线的几何性质、圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想17.【答案】解:直线l与直线m:垂直,解得当时,直线l化为:不满足题意当时,可得直线l与坐标轴的交点,直线l在两轴上的截距相等,解得:该直线的方程为:,18.【答案】解:根据题意,圆O:的圆心为,半径为r,则圆心到直线l的距离,若直线l:截圆O:所得的弦长为,则有,解得,则圆的方程为;直
12、线的方程为,即,则有,解得,即P的坐标为,设MN的中点为,则,则,即,化简可得:,即为点Q的轨迹方程19.【答案】解:由可得到,故圆心坐标为 过点且斜率不存在的方程为 圆心到的距离等于 故是圆的一条切线;过点A且斜率存在时的直线为:,即:,根据圆心到切线的距离为半径,可得到:化简可得到:所以切线方程为:过点的圆的切线方程为:, 由题意知点为圆上任意一点,故可设,即要求k的最大值与最小值即中的k的最大值与最小值易知当直线与圆相切时可取得最大与最小值,此时,整理可得到: 得到或 的最大值为,最小值为20.【答案】解:抛物线C:的焦点为,设点,则线段AB中点M的横坐标为,又,;抛物线C的方程为;直线l经过焦点,故可设方程为,与抛物线方程联立,得,消去y,得,解得,直线l的方程为21.【答案】解:由椭圆的定义,可知解得又所以椭圆C的标准方程为设直线l的方程为,联立椭圆方程,得,得设,点到直线l:的距离,当即,时取等;所以面积的最大值为22.【答案】解:抛物线C:经过点,解得,由题意,直线l的斜率存在且不为0,设过点的直线l的方程为,设,联立方程组可得,消y可得,且,解得,且,则,又、PB要与y轴相交,直线l不能经过点,即,故直线l的斜率的取值范围是;证明:设点,则,因为,所以,故,同理,直线PA的方程为,令,得,同理可得,因为,为定值2