1、章末综合测评(一)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A6B5C1D6A由向量数量积公式知，(2ab)a(3,0)(2，1)62设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()A150 B120 C60 D30B设向量a，b夹角为，|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos ，则cos ，又0，180，120故选B3已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，则ab的值为()A1 B2 C3 D4Dab(
2、3，k2)，ab与a共线，3k(k2)0，解得k1ab(1,1)(2,2)44已知ABC的其中两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为，则ABC的外接圆的半径为()A B C D8C由题意知，边长分别为2,3的两边的夹角的正弦值为又由余弦定理可得第三边的长为3，所以由正弦定理知，ABC的外接圆的直径为，所以其半径为故选C5在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c若b2c2a2bc，则sin(BC)的值为()A B C DB由b2c2a2bc，得cos A，则sin(BC)sin A6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若ABC的面积为3，bc2，cos A，则ABC的
3、周长为()A18 B16 C20 D15A在ABC中，由cos A，可得sin A，所以bc3，即bc24由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc，联立得得则ABC的周长为abc18，故选A7如图，在ABC中，若，则的值为()A B C DB，()，又，8已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围是()A1,0 B1,2C1,3 D1,4C建立如图所示坐标系，设M(x，y)，其中A(1，1)，B(1，1)，易知x2y21，而(1x，1y)(1x，1y)x2(y1)21，若设E(0，1)，则|21，由于0|2，所以|21的取值范围是1,3，故选C二、选择题(本大
4、题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2ACD|ab|a|b|cosa，b|a|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当ba0时，|ab|a|b|，故B错误故选ACD10在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b6，sin A2sin C，则以下四个结论正确的有()AABC不可能是直角三角形BABC有可能是等边三角形C当AB时，ABC的周长为15D当B
5、时，ABC的面积为6CD由正弦定理得a2c，对选项A，若A是直角，则a2b2c2(2c)236c2c2，所以存在ABC是直角三角形，故A错误；对选项B，因为a2c，所以不存在ABC是等边三角形，故B错误；对选项C，若AB，则ab6，c3，ABC的周长为15，故C正确；对选项D，cos B，解得c2，a4，所以ABC的面积Sacsin B6，故D正确故选CD11已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ab)(2bc)的值可能为()A2 B3 C0 DACD(ab)(2bc)2abac2b2bc12(ba)c|ba|c|cosba，c1cosba，c1，cosba，c1,1，(ab
6、)(2bc)2,022,0，32,0，02,0，2,0，(ab)(2bc)的值可能为2,0，故选ACD12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Bbcos A，a3若点D在边BC上，且BD2DC，O是ABC的外心，则下列判断正确的是()AA30BABC的外接圆半径为COD1DAD的最大值为2BC对于A，在ABC中，0A，B，C180，asin Bbcos A，sin Asin Bsin Bcos A，又sin B0，tan A，A60，故选项A错误；对于B，a3，2R2(R为ABC外接圆的半径)，故R，故选项B正确；对于C，取BC的中点M，连接OM，如图所示，在RtBOM
7、中，BMBC，OM，在RtDOM中，DMBDBM，OD1，故选项C正确；对于D，ADAOODROD1，当且仅当圆心O在AD上时取等号，AD的最大值为1，故选项D错误故选BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13与向量a(1,2)平行，且模等于的向量为_(1,2)或(1，2)因为所求向量与向量a(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x)，又因为其模为，所以x2(2x)25，解得x1因此所求向量为(1,2)或(1，2)14我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五
8、里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为_km221设在ABC中BC13里，AC14里，AB15里，cos C，sin C，故ABC的面积为13140.5221(km2)15在ABC中，SABC(a2b2c2)，b1，a，则c_1SABCabsin C，absin C(a2b2c2)，a2b2c22absin C由余弦定理得，2abcos C2absin C，tan C1，C45，c116如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是
9、_因为点O是AB的中点，所以2，设|x，则|1x(0x1)，所以()22x(1x)2所以当x时，()取到最小值四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知两向量a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若A2a3b，Bamb且A，B，C三点共线，求m的值解(1)kab(k,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)(4,2)(5,2)当kab与a2b共线时，2(k2)(1)50，解得k(2)由已知可得2a3b(2,0)(6,3)(8,3)，amb(1,0)(2m，m)(2m1，m)因为A，B，C三点共线
10、，所以，所以8m3(2m1)0解得m18(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|2|2，OAB，(1，)(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形解(1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB|cos(OAB)，yB|sin(OAB)，(1，)，B，C(2)证明：，3，又易知OA与BC不平行，|2，四边形OABC为等腰梯形19(本小题满分12分)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c解(1)由casin Cccos A，及正弦定理得sin Asin Ccos Asin
11、Csin C0由于sin C0，所以sin又0A，故A(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4而a2b2c22bccos A，故b2c28解得bc220(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，则a2b2c2bc又由余弦定理a2b2c22bccos A，得cos A又0A180，A120(2)法一由(1)中a2b2c2bc，结合正弦定理，可得sin2Asin2Bsin2Csin
12、Bsin C，即(sin Bsin C)2sin Bsin C又sin Bsin C1，sin Bsin C，sin Bsin C0B60，0C60，BC故ABC是等腰三角形法二由(1)得BC60，sin Bsin Csin Bsin(60B)sin(60B)1，又0B60，B30，CB30，故ABC是等腰三角形21(本小题满分12分)ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b4c，B2C(1)求cos B；(2)若c5，点D为边BC上一点，且BD6，求ADC的面积解(1)因为B2C，所以有sin Bsin 2C2sin Ccos C，从而cos C，故cos Bcos 2C2cos
13、2C1(2)由题意得，b4，由余弦定理b2a2c22accos B，得80a25225a，化简得a26a550，解得a11或a5(舍去)，从而DC5，又cos C，则sin C，所以SADCDCACsin C541022(本小题满分12分)如图所示，某市在海岛A上建了一水产养殖中心在海岸线l上有相距70公里的B，C两个小镇，并且AB30公里，AC80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在B，C之间建一个码头D，接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为12(1)求sinABC的大小；(2)设ADB，试确定的大小，使得运输总成本最少解(1)根据余弦定理，有cosABC，于是sinABC(2)不妨设每百人每公里水路运输成本为m元，陆路运输成本为2m元又CD70BD，则总成本p8ADm(3BD5CD)2m(7008AD4BD)m在ABD中应用正弦定理，有，解得AD，BDADcos ABcos(ABD)，因此2ADBD设y，则y0，有ysin cos 2，又ysin cos sin()，其中tan ，所以2，解得y，且时取得等号因此当时，运输总成本最少