1、南京市秦淮中学20192020学年第二学期高二数学期末模拟检测试卷（一） 时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1.“x0”是“ln(x1)0)，若圆C上存在点P，满足0，则r的取值可以是下列选项中的()A. 4 B. 5 C. 6 D. 7三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13已知函数f (x)ex在点(0，f (0)处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a2b的最小值是_14.设椭圆的两个焦点分别为
2、，点在椭圆上，且，则该椭圆的离心率为 15.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个.（用数字作答）16.已知函数，若函数存在唯一零点，且，则实数a的取值范围是_.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.18（12分）已知向量，（1）若，求的值；（2
3、）若，求的值19.（12分）如图,已知AE平面CDE,四边形ABCD为正方形,M,N分别是线段BE,DE的中点.(1)求证:MN平面ABCD;(2)若求EC与平面ADE所成角的正弦值.20.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗（1）求图中a的值；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望21已知椭圆的离心率为，
4、直线经过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于点，、是椭圆上的两个动点，且它们在轴的两侧，的平分线在轴上，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数，其中.（1）当时，求不等式在上的解；（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.南京市秦淮中学20192020学年第二学期高二数学期末模拟检测试卷（一）答案 时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1. B
5、2.B 3.C 4. C 5. D 6. D 7.A 8.B二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上.9.【答案】AD 10.【答案】BCD11.【答案】BCD. 12. 【答案】选ABC.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13【答案】14.【答案】15.【答案】19816.【解析】 当时，由，解得或，在，上是增函数，且，所以在上有零点，由题意知，由故或，又 当时，解得有两个零点，不合题意当时，增区间为，减区间
6、为和且，当时，则由单调性及极值可知，有唯一零点，但零点大于0，当时，则有三个零点， 无论正负都不合适所以故答案为：.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.【解析】(1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a31成等差数列，2a2a1(a31)a3，q2，an的通项公式为ana1qn12n1(nN*).(2)由(1)知bn2n
7、1an2n12n1，Sn(11)(32)(522)(2n12n1)135(2n1)(12222n1)nn22n1.Sn(n22n)10，Snn22n.18（12分）已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解析】（1）因为，且，所以，即，3分当，则，不合题意（舍去）；5分当，则6分（2）因为，所以，所以，10分代入得，11分所以12分19.（12分）如图,已知AE平面CDE,四边形ABCD为正方形,M,N分别是线段BE,DE的中点.(1)求证:MN平面ABCD;(2)若求EC与平面ADE所成角的正弦值.(1)证明:连接线段BD.在BDE中,M,N分别是线段BE,DE的中点,MN为中位线,则
8、MNBD.又MN平面ABCD,BD平面ABCD,MN平面ABCD.(2)解:连接线段AC.四边形ABCD为正方形,CDAD.又AE平面CDE,CDAE,且ADAE=A,CD平面ADE.EC与平面ADE所成角的平面角即为CED.在ACE中,令AE=a,CE=2a,则AC=a,CD=a.在CDE中,sinCED=EC与平面ADE所成角的正弦值为20.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗（1）求
9、图中a的值；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望【答案】（1），（2）答案见详解.【解析】（1）由可得（2）由频率分布直方图可得，优质花苗的频率为，即概率为设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则所以，所以的分布列为0123所以21已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于点，、是椭圆上的两个动点，且它们在轴的两侧，的平分线在轴上，|，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.（1）在直线方程中令，则，故，又，故，所以，所以椭圆标准方程为：.（2
10、）因为、在在轴的两侧，故的斜率必存在，设的方程为，因为在轴上且在直线，故.因为的平分线在轴上，所以，而，代入整理得到：.由可得，所以，所以，化简得到，所以对任意的，总有，故直线过定点.22.已知函数，其中.（1）当时，求不等式在上的解；（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】（1）当时，在上单调递增，在上单调递增，又，的解集为；（2），关于直线对称的函数为，令，当且仅当时取“”，故上式取不到“”，即，在上单调递增，故，即，当时，（3）证明：由已知，由，是函数两个不同极值点（不妨设）.即，是函数的两个不同实根.即，两式相减得：，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证令即证不等式当时恒成立.设，而，即，在上是减函数,又恒成立.则.