1、模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z()A35iB35iC35iD35iA由z(2i)117i得，z35i2已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于()A B C DC由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选C3我国古代数学有这样一个问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A104人 B
2、108人 C112人 D120人B由题意可得，北乡遣300108(人)4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为()A B C DC由余弦定理，得cos C，当且仅当ab时取“”5如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90C延长CA到D，使得ADAC，连接A1D，DB(图略)，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以AC1DA1，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角(或其补角)，又A1DA1BDBAB，则三角形A1DB为等边三角形，所以DA1B6
3、0，即所求角为606已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6 C0.8 D1B5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种恰有一件次品的结果有6种，则其概率为P0.67为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，若设甲、乙、丙所调查数据的标
4、准差分别为s甲，s乙，s丙，则它们的大小关系为()甲乙丙As甲s乙s丙 Bs甲s丙s乙Cs丙s乙s甲 Ds丙s甲s乙A观察可知：甲数据的两端数据较多，绝大部分数据都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其标准差最大；乙图是单峰的，每一个小长方形的高差别比较小，数据分布均匀，且数据不如甲偏离平均数远，标准差比甲数据的标准差小；而丙数据中绝大部分数据都在平均数左右，数据最集中，故其标准差最小综上可知s甲s乙s丙8投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.3
5、12A法一：记Ai为事件“该同学第i次投篮投中”，则P(Ai)0.6，i1,2,3用B表示事件“该同学通过测试”，则B为事件“在3次投篮中，该同学投中2次或者3次”，即BA1A2A31A2A3A12A3A1A23由概率的加法公式和事件的独立性得，P(B)P(A1A2A3)P(1A2A3)P(A12A3)P(A1A23)0.60.60.6(10.6)0.60.60.6(10.6)0.60.60.6(10.6)0.648法二：记Ai为事件“该同学第i次投篮投中”，则P(Ai)0.6，i1,2,3用B表示事件“该同学通过测试”，则B的对立事件是“在3次投篮中，该同学投中0次或者1次”，即12312A
6、31A23A123由概率的基本性质得，P(B)1P()1P(123)P(12A3)P(1A23)P(A123)10.40.40.430.40.40.610.3520.648二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9已知m，n是直线，是平面，则下列说法中正确的是()A若，m，nm，则n或nB若，m，n，则mnC若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线D若m，nm且n，n，则n且nBD在A中，垂直于两平面交线的直线不一定垂直于两个平面，A错误；B正确；在C中，平面内垂直于m的射影的直线，m与它们都
7、垂直，C错误；D正确故选BD10甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是()AP(B)B事件B与事件A1相互独立C事件B与事件A2相互独立DA1，A2互斥AD根据题意画出树状图，得到相关事件的样本点数：因此P(A1)，P(A2)，P(B)，A正确；又P(A1B)，因此P(A1B)P(A1)P(B)，B错误；同理，P(A2B)P(A2)P(B)，C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选AD11
8、在ABC中，下列命题正确的是()A若AB，则sin Asin BB若sin 2Asin 2B，则ABC定为等腰三角形C若acos Bbcos Ac，则ABC定为直角三角形D若三角形的三边的比是357，则此三角形的最大角为钝角ACD在ABC中，若AB，则ab，因此sin Asin B，A正确；若sin 2Asin 2B，则2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；若acos Bbcos Ac，则sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)，所以sin Bcos A0，即cos A0，A，所以ABC定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是3
9、57，设最大边所对的角为，则cos ，因为，所以，D正确故选ACD12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点下列命题中正确的是()AA1C平面B1EFB在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线CB1EF在侧面BCC1B1上的投影是面积为定值的三角形D当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形BCD连接AB1，B1D1，AD1(图略)，由正方体的性质可得A1C平面AB1D1，而平面AB1D1与平面B1EF不可能平行，所以显然有A1C与平面B1EF不垂直，故A错误；由题图可知，平面A1B1C1D1与平面B1EF相交，则一定
10、有一条交线，所以在平面A1B1C1D1内一定存在直线与此交线平行，则此直线与平面B1EF平行，故B正确；点F在侧面BCC1B1上的投影为点B，点E在侧面BCC1B1上的投影在棱CC1上，所以投影三角形的面积为SBB1BC，为定值，故C正确；在D1C1上取点M，使D1MD1C1，在AD上取点N，使ANAD，连接B1M，EM，EN，FN(图略)，则五边形B1MENF即为截面，故D正确三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _ab，sin 21cos2 0，2sin cos cos2 0
11、，0，cos 0，2sin cos ，tan 14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_或由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或15一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥a2aa3又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球a3，则其体积比为16已知a，b为单位向量，则|ab|ab|的最大值为_2由a，b为单位向量可知以a，b对应线段为邻边作出的平行四边形是菱形，结合菱形性质可得(ab)(ab
12、)，1，(ab)2(ab)24，设|ab|2cos ，|ab|2sin ，|ab|ab|2cos 2sin 2cos，则易知当时，|ab|ab|的最大值为2四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在cos B，c3；cos A，sin(AB)3sin B；ab2，cos A三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，_，求b注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解方案一：选cos B，c3因为cos B，0B，所以sin B由SABCacsin Ba3，解得
13、a2由余弦定理得b2a2c22accos B892231，所以b1方案二：选cos A，sin(AB)3sin B因为cos A，0A，所以sin A，因为ABC，所以sin(AB)sin C，所以sin C3sin B，由正弦定理可得c3b，所以SABCbcsin Ab3b，解得b1方案三：选ab2，cos A因为SABCabsin C2sin C，所以sin C1又0C，所以C，因为cos A，0A，所以sin A，且sin Bsincos A，根据正弦定理，可得a2b，所以ab2b22，解得b1(以上三种方案任选一种进行解答即可)18(本小题满分12分)已知A，B，C为ABC的三个内角，
14、向量m(22sin A，sin Acos A)与n(sin Acos A,1sin A)共线，且AA0(1)求角A的大小；(2)求函数y2sin2cos 的值域解(1)由题意知，(22sin A)(1sin A)(sin Acos A)(sin Acos A)，得2(1sin2A)sin2Acos2A2sin2A1，即sin2A又A为ABC的内角，所以sin A由AA0，知A为锐角，所以A(2)因为A，所以BC，所以y2sin2cos1cos Bcos1sin Bcos B1sin又0B，所以B，所以sin1，所以y故函数y2sin2cos的值域为19(本小题满分12分)为了选出参加全国移动互
15、联创新大赛优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为，且各场输赢互不影响求甲恰好获胜两场的概率解设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C)，则甲恰好获胜两场的概率为：PP( BC)P(A C)P(AB )P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()20(本小题满分12分)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面E
16、GH证明(1)如图，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB由ABBC，得GHBC又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE又CFBC，所以HEBC又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH21(本小题满分12分)交通指数是指交通拥堵
17、指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值记交通指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：T0,2)，畅通；T2,4)，基本畅通；T4,6)，轻度拥堵；T6,8)，中度拥堵；T8,10，严重拥堵在晚高峰时段(T2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层随机抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率解(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段
18、中，轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个)，中度拥堵的路段有(0.250.2)1209(个)，严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个)(2)由(1)知，拥堵路段共有69318(个)，按分层随机抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为62，93，31，即从交通指数在4,6)，6,8)，8,10的路段中分别抽取的个数为2,3,1(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)
19、，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9个所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为22(本小题满分12分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB，又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB又因为平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABCAB，且OC平面ABC，所以OC平面VAB又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以SVAB又因为OC平面VAB，所以VCVABOCSVAB，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为