1、 类型1随机事件与概率1近几年高考突出考查了以频率估计概率，对概率加法公式及对立事件发生的概率考查较少这三个知识点是概率知识的基础，应重点把握2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法【例1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1
2、张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)P(A)，P(B)，P(C)故事件A，B，C的概率分别为，(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)故1张奖券的中奖概率为(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，
3、试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解从袋中选取一个球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A，B，C，D，则有P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，解得P(B)，P(C)，P(D)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是， 类型2古典概型1古典概型是每年高考的必考点，可以单独考查，也可以与统计中的直方图综合考查计算时，掌握必要的计数方法(如列举法、树状图等)，并合理利用互斥事件、对立事件的概率公式，进行概率计算2求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这
4、就需要正确求出试验的样本空间，样本空间的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择【例2】袋中有形状、大小都相同的4个小球， (1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1,2,3,4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率解(1)设取出的2只球颜色不同为事件A试验的样本空间 (白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，共6个样本点，事件A包含
5、5个样本点，故P(A)(2)试验的样本空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以P(B)(3)试验的样本空间(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P2设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)
6、，b(1，3)(1)求使得事件“ab”发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种ab，即m3n0，即m3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，所以事件ab的概率为(2)|a|b|，即m2n210，共有6种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，其概率为 类型3事件的相互独立性1高考对相互独立事件的考查主要是判断相互独立事件、计算相互独立事件的概率，多出现在解答题，难度中等2相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥
7、的简单事件的和(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件(3)代入概率的积、和公式求解【例3】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空
8、间(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，事件A包含2个样本点，则P(A)，设B表示事件“观众乙选中3号歌手”， 观众乙选出3名歌手的样本空间(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，事件B包含6个样本点，则P(B)事件A与B相互独立，A与相互独立，则A表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”P(A)P(A)P()P(A)1P(B)即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)P(B)，依题意，A，B，C相互
9、独立，相互独立，且AB，AC，BC，ABC彼此互斥又P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，P(X2)P(X2)P(X3)3投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()ABCDDP(A)，P(B)，P()，P()A，B中至少有一件发生的概率为1P()P()1，故选D4(2020天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为，甲、乙两球都
10、不落入盒子的概率为，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1 类型4概率与统计的综合应用1此类问题多涉及古典概型、互斥事件、对立事件以及频率分布直方图等内容，既有选择题，也有解答题2破解概率与统计图表综合问题的三个步骤第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算【例4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中
11、样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概率解(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4(3)受访职工中评分在50,60)的有：500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在4
12、0,50)的有：500.004102(人)，记为B1，B2从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个样本点又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为5海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量/件50150100(1)求这6件样品中来自A，B
13、，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2则从6件样品中抽取2件商品，试验的样本空间(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B
14、3，C2)，(C1，C2)，共15个样本点每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个，所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为1(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3B0.4C0.6D0.7B设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.450.150.
15、4故选B2(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A B C DB设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1
16、，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能故恰有2只测量过该指标的概率为故选B3(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A B C DA根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为，故选A4(2019全国卷)甲
17、、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_0.18记事件M为甲队以41获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522)0.185(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于
18、D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.28(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525575频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为15由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为10比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务