1、河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数学一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的补集和并集的定义计算【详解】由已知，故选：A【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】若，则必有，故是充分的，若，则或，故不必要因此应是充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充
2、分条件和必要条件的定义是解题基础3.已知直线与圆相交于，两点，若，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求出弦长后可得，从而得斜率【详解】圆心为原点，即，半径为，圆心到直线的距离为，解得，直线的斜率为故选：B【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是求出圆心到直线的距离，由勾股定理求出弦长4.已知双曲线：的焦距为4，为上一点，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题2c=4将代入方程，得a,b方程组求解即可【详解】由题2c=4,即c=2,又为上一点，则,解得，故故渐近线方程为故选D【点睛】
3、本题考查渐近线方程，准确计算是关键，是基础题5.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果【详解】对于A，函数，当时，；当时，所以不满足题意对于B，当时，单调递增，不满足题意对于C，当时，不满足题意对于D，函数偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意故选D【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(
4、5)从函数的特征点，排除不合要求的图象6.已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由偶函数转化，先比较幂和对数的大小，再由函数单调性得结论【详解】是偶函数，又，而在上递增，故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的大小比较，掌握对数函数与指数函数性质是煞是关键7.如图，在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球
5、体积【详解】由题意等腰梯形中，又，是靠边三角形，从而可得，折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，设是的中心，则平面，外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，解得，球体积为故选：A【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体8.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合三角函数的单调性确定的最大值即可.【详解】由三角函数的性质可得：，其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为：，在上为增
6、函数，则：，据此可得：，则的最大值为2.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数若关于的方程恰有1个实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出和在点外的切线斜率，结合函数图象可得结论【详解】由得，由得，作出函数的图象，和直线，直线恒过点，知时，关于的方程恰有1个实根，故选：A【点睛】本题考查方程根的分布，解题方法把方程的根据转化为函数图象交点个数，即函数的图象与直线的交点个数，从而由数形结合思想易求解二填空题：
7、本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10.设复数(为虚数单位)，则_.【答案】【解析】【分析】可先由复数除法求出，再由模的定义计算【详解】由已知，故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题11.在的展开式中，的系数为_【答案】80【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论【详解】解：的展开式中，通项公式，令，解得的系数故答案为80【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12.从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，_，数学期望_.【答案
8、】 (1). (2). 1【解析】【分析】的可能值为0，1，2，分别计算出概率，得概率分布列，从而可计算出期望【详解】由题意，的可能值为0，1，2，即的分布列为：012故答案为：；1【点睛】本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查古典概型，属于基础题13.已知为正实数，且，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：因为为正实数，且，所以当且仅当即时取等号，所以的最小值为考点：基本不等式【名师点睛】本主要考查基本不等式的应用以及构造基本不等式的拆项、拼凑等基本方法，属难题第一难点是将正确拆分为形式，第二难点是乘以进行变形拼凑基本不等式的形式，最后利用基本不等式求最小值时还得注意应用基本不等式的
9、条件，即保证两个数均为正数、乘积为定值且能取到等号，得到正确结果14.已知是边长为2的等边三角形，且与相交于点，则_.【答案】【解析】【分析】选取为基底，其他向量用基底表示后再求数量积【详解】，又，设，三点共线，故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示，然后计算15.已知函数，分别给出下面几个结论：等式在时恒成立；函数的值域为；若，则一定有；函数在上有三个零点.其中正确结论的序号是_.【答案】.【解析】【分析】由函数式对四个命题分别判断【详解】，是奇函数，正确；在时，是增函数，在时也是增函数，从而是上的增函数，正确；在时，时，值域为，正确；由得，方程只有
10、1根，错误故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，考查函数的值域、函数零点的概念，解题关键是确定函数的单调性三解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求角；（2）若，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）.（2）.（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得；（2）由二倍角公式求得后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得【详解】（1），由正弦定理得，即.，又，（2）由已知得， .（3）由正弦定理，得.由（1）知，由余
11、弦定理得，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换17.如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在，【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，可证，从而得线面平行；（2）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间
12、直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设，求出平面和平面（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角关系可求得【详解】（1）连接交于点，连接.是平行四边形，是的中点.又是的中点， 又平面，平面，平面；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为.，即不妨取，得 又.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为（3）假设在线段上(不含端点)存在一点，使得二面角的余弦值为.连接.设， 得.设平面的法向量为.，即不妨取，得 设二面角的平面角为，则.化简得，解得，或.二面角的余弦值为，.在线段上存在一点，且，使得二面角的
13、余弦值为.【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求线面角和二面角，用线面平行的判定定理证线面平行是证明线面平行的掌握方法在图形中有两两相互垂直的三条直线时，常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法研究空间角这种方法化证明为计算，减少学生的逻辑思维量，但增加了计算量18.已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.（1）求数列的通项公式（2）记,求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出【详解】（1）由题意，得.又， ，或， ，. . （2）由（），知. . . . .【点睛
14、】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.19.已知椭圆的离心率，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，若在轴上的截距为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率得到，根据相切得到，得到答案.（2）设，中点，联立方程得到，计算得到，计算得到答案.【详解】（1）由题意得，即，直线与圆相切得，.故椭圆的方程是.（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设，中点，联立，消去并整理得，又，解得且，得，由，即，化简得，令得，解得或
15、，由于且，故，直线的方程为，即.【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知函数讨论函数的单调性；设，对任意的恒成立，求整数的最大值；求证：当时，【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）若a0，则f（1）a+10，不满足f（x）0恒成立若a0，由（）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减由此求出函数的最大值，由最大值小于等于0可得实数a的取值范围（3）由（2）可知，当a1时，f（x）0
16、恒成立，即lnxx+10得到xlnxx2+x，则exxlnx+x1exx2+2x1然后利用导数证明exx2+2x10（x0），即可说明exxlnx+x0【详解】（1）函数 f（x）（aR ），x0，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增当a0时，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减（2）当时，则f（1）2a+30，不满足f（x）0恒成立若a0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，又f（x）0恒成立，f（x）max0，即0，令g(a)=,则g(a)单调递增，g
17、(-1)=1，g(-2)=0，a时，g(a) 0恒成立，此时f（x）0恒成立，整数的最大值-2（3）由（2）可知，当a-2时，f（x）0恒成立，即lnx2x2+10即xlnx2x3+x0，恒成立，又exx2+2x1+（）只需证exx2+2x1，记g（x）exx2+2x1（x0），则g（x）ex2x+2，记h（x）ex2x+2，则h（x）ex2，由h（x）0，得xln2当x（0，ln2）时，h（x）0；当x（ln2，+）时，h（x）0函数h（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+）上单调递增42ln20h（x）0，即g（x）0，故函数g（x）在（0，+）上单调递增g（x）g（0）e010，即exx2+2x10结合exx2+2x1+（）0，即0成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题