1、8.6.3平面与平面垂直第1课时二面角及平面与平面垂直的判定定理学 习 任 务核 心 素 养1理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)1 通过学习平面与平面垂直的判定定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养2 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地
2、球的赤道平面成一定的角度问题：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？知识点1二面角1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱，(2)两个半平面叫做二面角的面3画法：4记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ5二面角的平面角：若有(1)Ol；(2)OA，OB；(3)OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB6平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是01801二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，
3、只与二面角的大小有关1如图所示的二面角可记为()AlBMlNClMNDlB根据二面角的记法规则可知B正确2如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于_90PA平面ABC，PAAB，PAAC，BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90，所求二面角的大小为90 知识点2平面与平面垂直1定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2画法：3记作：4判定定理：文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l，l2两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定，只有在一
4、个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面3已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是()A，Ba，ba，bCa，a Da，aD由a，知内必有直线l与a平行又a，l，4如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A1对B2对C3对 D5对D四边形ABCD是矩形，DAAB又PA平面ABCD，PADA又ABPAA，DA平面PAB同理BC平面PAB又易证AB平面PAD，DC平面PAD，平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对 类型1二面角的计算问题【例1】如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACD
5、B的余弦值解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AMCD，BMCD由二面角的定义可知AMB为二面角ACDB的平面角设点H是BCD的重心，则AH平面BCD，且点H在BM上在RtAMH中，AM2，HM2，则cosAMB，即二面角的余弦值为求二面角大小的方法和步骤是什么？提示1确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角2求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形
6、，解这个三角形，求出角的大小1如图，AC平面BCD，BDCD, ACAD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小解因为AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以BDAC又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面 ACD因为AD平面 ACD，所以ADBD，所以ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角在RtACD中，ACAD，所以ADC30即平面ABD与平面BCD所成的二面角为30 类型2平面与平面垂直的判定【例2】(对接教材P158例8)如图所示，在四面体ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC求证：平面ABC平面SBC证明(1)法一：(利用定义证明
7、)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC法二：(利用判定定理)因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为等腰直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜
8、边BC的中点，所以AD平面SBC又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面2如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD证明连接AC，设ACBDO，连接OE因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，所以EOPC因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD又因为EO平面BDE，所以平
9、面BDE平面ABCD1经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有()A0个B1个C无数个 D1个或无数个D设P为平面外一点，O为平面内一点当PO时，过直线PO有无数多个平面与平面垂直；当PO与不垂直时，过直线PO有且只有1个平面与平面垂直2如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90B60C45D30APA平面ABC，PAAB，PAAC，BAC即为二面角BPAC的平面角又BAC90，二面角BPAC的大小为903(多选题)已知l平面，直线m平面，则下列命题正确的有()Alm BlmClm DlmACl，l，m，lm，故A正确；lm，l，m，又m，
10、故C正确4在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于_45根据正方体中的位置关系可知，ABBC，A1BBC，根据二面角的平面角定义可知，ABA1 即为二面角ABCA1的平面角又ABAA1，且ABAA1，所以ABA1 455如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B证明：平面AB1C平面A1BC1证明因为BCC1B1是菱形，所以B1CBC1，又B1CA1B，且BC1A1BB，所以B1C平面A1BC1，又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)二面角的定义是什么？如何作二面角的平面角？(2)如何求二面角的平面角的大小？(3)二面角的取值范围是什么？(4)如何证明两个平面垂直？