1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第九节 函数的图象Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.会运用函数图象研究函数的性质2掌握常见基本函数的图象，函数图象的基本作法，图象的变化与函数性质的关系是重点3掌握作函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考试热点 高考主要以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有：知式选图、知图选式、图象变换(平移变换、对称变换、伸缩变换)以及灵
2、活地应用图象解题基本初等函数的图象是高考中的重要考查点之一，是用来研究其他图象问题的基础，且此部分知识与函数的性质联系密切，是高考的重点内容之一.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1描点法作图：通过、三个步骤画出的函数图象，用描点法在选点时，往往选取特殊点，有时也利用函数的性质，(如、)以便于简便作图 2图象变换法 一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的图象高考中要求学生掌握三种图象变换：、列表描点连线奇偶性单调性周期性平移变换伸缩变换对称变换Copyright 2004-2009 版权所有 盗版
3、必究 3掌握基本函数的图象，包括一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数等 4平移变换：yf(x)的图象向左平移a(a0)个单位得到函数的图象；yf(x)的图象向右平移b(b0)个单位得到函数的图象 函数yf(x)h(h0)的图象可由yf(x)的图象而得到 记忆口诀：左加右减，上加下减yf(xa)yf(xb)向上(向下)平移h个单位Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5对称变换：(1)yf(x)与yf(x)的图象关于对称(2)yf(x)与yf(x)的图象关于对称(3)yf(x)与yf(x)的图象关于对称(4)yf1(x)与yf(x)的图象关于对称(5
4、)y|f(x)|的图象可将yf(x)的图象在x轴下方的部分，其余部分不变(6)yf(|x|)的图象，可先作出x0时，f(x)的图象，再利用偶函数图象对称，作出x0)的图象，可将yf(x)的图象上的所有点的变为原来的A倍，不变而得到(2)yf(ax)(a0)，可将yf(x)的图象上所有点的变为原来的倍，不变而得到纵坐标横坐标横坐标纵坐标Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1函数f(x)|log2x|的图象是()解析：首先作出ylog2x的图象，再作x轴下方的图象关于x轴的对称图象，再将x轴下方图象去掉故选A.答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必
5、究 2要得到函数 y212x 的图象，只需将函数 y(14)x 的图象()A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位C向左平移12个单位D向右平移12个单位答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3已知函数ylog2x的反函数是yf1(x)，则函数y f1(1x)的图象是()解析：ylog2x的反函数f1(x)2x，yf1(1x)21x是减函数，又过点(0,2)，选C.答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4若将函数yf(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴翻折180，得到ylg(x1)的图象，则f(x)_.解析：f(x)的图象是将
6、ylg(x1)的图象沿y轴翻折180，再向右平移2个单位而得，即有ylg(x1)y lg(x1)ylg(x2)1，即f(x)lg(3x)答案：lg(3x)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5作出下列函数的图象：(1)yx3|x|；(2)yx2x1；(3)y|log2x1|;(4)y2|x1|.解：(1)首先要化简解析式，利用二次函数的图象作出其图象，如图1(1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)y1 3x1，先作出 y3x的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得如图 1(2)图1Copyright 2004-2009
7、版权所有 盗版必究 (3)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得y|log2x1|的图象，如图1(3)(4)先作出y2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y2|x|的图象，再将之右移一个单位即可如图1(4)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 1 作出下列函数的图象(1)y(12)|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y2x1x1.Copyright 2004-2009 版权所有
8、盗版必究 (2)作出ylog2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到ylog2(x1)的图象，再保留其y0的部分，加上其y0的部分关于x轴的对称部分，即得y|log2(x1)|的图象(如图2乙)图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)由 y2x1x1 得 y 1x12.作出 y1x的图象，将 y1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，即得 y2x1x1的图象(如图 2 丙)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 利用图象变换的问题(尤其是对称变换)，大多可以分类讨论解决，但相比较而言，利用变换法相对好一些，需注意，用哪
9、些基本函数作为初始函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 作出下列函数的图象：(1)y|x2|(x1)；(2)y3x1x.解：(1)先化简，再作图Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)可化为 y1 2x11 2x1，先作出 y2x的图象，再将其向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，即可得所求函数图象各题的图象如图 3 所示图3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 2 函数 ylncosx2x2 的图象是()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 首先函数是偶函数，图象关于 y 轴对称，所
10、以排除 B、D.又2x2，0cosx1，ylncosx0，排除 C，所以 A 正确答案 ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 分析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：(1)函数的定义域；(2)函数的最大值与最小值；(3)与坐标轴的交点(即f(x)0或x0的点)；(4)图象的对称性(函数的奇偶性)；(5)图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (6)图象的变化规律(即函数的周期性)图4Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知函数yxf(x)的图象如图4所示(其
11、中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中大致是yf(x)的图象为()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：当x1时，xf(x)0，f(x)为增函数；当1x0，f(x)0，f(x)为减函数；当0 x1时，xf(x)0，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，f(x)为增函数故选C.答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 3 设 a0，a1，函数 f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，则 a 的取值范围是()A.16a1 B.18a14或 a1Ca1 D.15a14或 a1Copyright 2004-2009 版权所
12、有 盗版必究 解 设u|ax2x|，则其图象如图5，当0a1时，ylogau在(0，)上是减函数，又f(x)在3,4上是增函数，u|ax2x|在3,4上是减函数，图5Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案 ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题主要研究的是复合函数的单调性，由于内函数u|ax2x|的单调性比较复杂，因而借助于函数的图象可直观地得出其性质，从而简化了解题过程研究这类函数的性质，也可以借助于导数，利用导数的几何意义去解决函数的性质研究问题Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009深圳模拟)已
13、知定义在区间0,1上的函数yf(x)的图象如图6所示，对于满足0 x1x2x2x1；x2f(x1)x1f(x2)；f(x1)f(x2)2f(x1x22)其中正确结论的序号是_(把所有正确结论的序号都填上)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 图7由图 7 易知 kOCkOB，即f(x2)x2 x1f(x2)，故正确如图 7 作 BB1x 轴，CC1x 轴，垂足分别为 B1，C1，则f(x1)f(x2)212(|BB1|CC1|)，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 显然12(|BB1|CC1|)f(x1x22)，即f(x1)f(x2)20)，令 f
14、(x)0 得 xa6或 xa6(舍去)当 0a61，即 0a6，不符合题意当a61，即 a6 时，f(x)0，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)12.解得 a8.综上所述：存在 a8 使函数 f(x)的图象的最高点在直线y12 上Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升(1)熟悉函数的图象的特征与其代数特征之间的对应关系是解决本题的关键例如：函数图象的对称与其函数解析式的特点，函数的最高点与函数的最大值的联系等(2)函数图象为研究数学问题提供了“形”的支持有了它，我们可以将“数”与“形”有机地结合在一起一方面，借助于“形”的直观性，可以探索、发现
15、“数”的特征；另一方面，“数”的特征也精细地描述了“形”的特点Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知函数 f(x)aax a(a0 且 a1)(1)证明函数 yf(x)的图象关于点(12，12)对称；(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)证明：函数 f(x)的定义域为全体实数，在 f(x)的图象上任取一点(x，y)，它关于点(12，12)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知，yaax a.则1y1aax aaxax a，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 f
16、(1x)aa1x aaaax aaaxa aaxaxax a.所以1yf(1x)即点(1x，1y)也在函数 yf(x)的图象上，所以函数 yf(x)的图象关于点(12，12)对称Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)解：由(1)有1f(x)f(1x)即f(x)f(1x)1.所以f(2)f(3)1，f(1)f(2)1.f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、
17、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系 2图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上(2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3常见结论(1)若 f(ax)f(bx)，xR 恒成立，则 yf(x)的图象关于 xab2 成轴对称图形(2)函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x12(ba)对称(3)若定义在 R 上的函数 f(x)关于直
18、线 xa 与 xb(ba)都对称，则 f(x)为周期函数，2b2a 是它的一个周期(未必是最小正周期，下同)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (4)若定义在R上的函数关于点(a，c)和(b，c)(ba)成中心对称，则f(x)为周期函数，2b2a是它的一个周期(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a，c)成中心对称，又关于直线xb(ba)成轴对称，则f(x)是周期函数，4b4a是它的一个周期Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 注意：要注意f(ax)f(ax)与f(xa)f(xa)的区别，其中f(ax)f(ax)说明函数yf(x)的图象关于直线xa对称，而f(xa)f(xa)说明函数yf(x)为周期函数，且2a为它的一个周期Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究