1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第八节 对数与对数函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理解对数的概念，掌握对数的运算性质2掌握对数函数的概念、图象和性质3能够利用对数函数的性质解决某些简单的实际问题考试热点1.以选择题或填空题的形式考查对数函数图象和基本性质2与其他知识(如数列、不等式等)相结合，出现在解答题中.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1对数式与指数式的互化2运算性质(1)
2、loga(MN).(2)logaMN.(3)logaMn.logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM温馨提示：注意公式成立的条件(a0且a1，M0，N0)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3恒等式(1)alogaNN(a0 且 a1，N0)(2)logaa1，loga10(a0 且 a1)4换底公式logab(a0 且 a1，b0)logcblogca，c0 且 c1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5对数函数的图象与性质定义形如ylogax(a0且a1)的函数叫对数函数图象Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
3、 x1时，y00 x1时，y00 xCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1设log34log48log8mlog416，那么m等于()A.B18 C9 D27答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2若0 xya1，则有()Aloga(xy)0 B0loga(xy)1 C1loga(xy)2 解析：0 xalogaa1.又0yalogaa1，logaxlogay2.故选D 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究()A2b2a2cB2a2b2cC2c2b2aD2c2a2b 解析：由题意知bac，设f(x)2x，21，
4、故f(x)单调递增，所以2b2a2c.故选A.答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4(log25log40.2)(log52log250.5)_.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 1 已知 x、y、z 为正数且 3x4y6z.(1)求使 2xpy 的 p 的值；(2)求与(1)中所求的 p 最近的正整数(即求与 p 的差的绝对值最小的正整数)(3)求证：12y1z1x.(4)比较 3x,4y,6z 的大小Copyr
5、ight 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 因为已知条件中的x、y、z处在指数上，而所求的结论均为x、y、z的关系，所以可令3x4y6zk，然后利用指数与对数的互化abNblogaN表示出x、y、z的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)设 3x4y6zk(显然 k1)，则 xlog3k，ylog4k，zlog6k.由 2xpy 得 2log3kplog4kplog3klog34，因为 log3k0，所以 p2log344log32.(2)p4log32log316，所以 2p2716，所以 p23p，故所求正整数是 3.Copyright 2004
6、-2009 版权所有 盗版必究 证明：(3)1z1x 1log6k 1log3klogk6logk3logk212logk412log4k 12y.(4)因为 k1，所以 lgk0，3x4y lgklg3lg4(lg64lg81)0，4y6z lgklg2lg6(lg36lg64)0，所以 3x4y0，y0，x2y0，xy 应舍去，即xy4.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 2 设 a、b、c 均为正数，且12clog2c，则()Aabc BcbaCcabDbacCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析 解法 1：由函数 y2x，y12x，
7、ylog2x，y的图象(图 1)知 0ab1c，故选 A.图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案 ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设f(x)|log2x|，当0abf(b)f(2.5)，那么a的取值范围是_图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：f(x)的图象如图 2，由图象知0abf(2.5)log22.5，即1b2.5.b25.0a0 对 xR 恒成立，umin3a20，3a0 的解集为 R 得 4a2120 求出 3a0 对 x1，)恒成立g(x)的对称轴为 xa，当 a0，即a0，解得2a1.当
8、a1 时，0，即 3a 3，1a0 的解集为x|x3x22ax30 的两根为 1 和 3，2a13，即 a2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(5)yf(x)1，ug(x)值域为2，)3a22，即 a1.(6)命题等价于即所求 a 的取值范围是1,2)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升(1)定义域为R的问题实质上是不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题(2)值域为R的问题实质是x能取遍某区间上的所有值，一般利用方程有解的条件求参数的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)函数 f(x)(x22ax
9、3)的定义域和值域能否同时为R?(2)若将函数 f(x)(x22ax3)改为 f(x)(ax22x3)，则若该函数的定义域为 R，试求实数 a 的取值范围；若该函数的值域为 R，试求实数 a 的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)要使函数 f(x)(x22ax3)的定义域和值域同时为 R，方程组(*)无解，函数 f(x)(x22ax3)的定义域和值域不能同时为 R.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)要使函数 f(x)(ax22x3)的定义域为 R，要使函数 f(x)(ax22x3)的值域为 R，实数 a 的取值范围为0，1
10、3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例4 已知函数f(x)loga(aax)，a1.(1)求f(x)的定义域、值域；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)解不等式f1(x22)f(x)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)为使函数有意义，需满足 aax0，即 ax1，所以 x1，故定义域为(，1)又 loga(aax)logaa1，所以 f(x)1，即值域为(，1)(2)设 x1x2loga10，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)为减函数，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)设yloga(aax)，
11、则ayaax，所以axaay，所以xloga(aay)所以f(x)的反函数f1(x)loga(aax)(xf(x)，得loga(aax22)loga(aax)所以ax22ax，所以x22x，即x2x20，解得1x2，又f(x)的定义域为(，1)，故原不等式的解集为x|1x0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性 解：(1)由ax10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1时，设0 x1x2，则1ax1ax2，故0ax11ax21，loga(ax11)loga(ax21)，f(x1)1时，f(x)在(0，)上是增函数 类似地，当
12、0a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)互为反函数，要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做错的题目解决这类问题，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可利用图象(如表)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 同一坐标系下的图象关系底的关系ab11ab0图象yax与ybxyax与ybxCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 当底大于1时，底越大，图象越靠近坐标轴，当底
13、小于1大于0时，底越小，图象越靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，则要利用中间变量 5把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值，是求指数、对数函数的常见题型在给定条件下，求字母的取值范围也是常见题型，尤其是在与指数、对数函数结合在一起的高考试题中更是屡见不鲜Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 6要把对一般函数的研究方法用到对指数函数和对数函数的研究上来，如定义域、值域、单调性特别要注意借助于指数函数或对数函数构造的复合函数的性质特点 7对于含参数的指数、对数问题在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑其定义域Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
