1、天津市武清区杨村第三中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题1. 已知直线l的方程为yx1，则直线l的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 135【答案】D【解析】【详解】由题可知，直线yx1的斜率为1，所以有=-1，所以直线l的倾斜角为1352. 如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量回路方法运算求解即可.【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且，所以，在平行六面体中，所以，所以，故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法.3. 与直线
2、垂直于点的直线的一般方程是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知可得这就是所求直线方程，故选A. 4. 已知空间向量，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算和模的坐标表示求得关于的函数关系，然后利用二次函数的性质即得所求.【详解】解：，则，当时，取最小值为2故选：C【点睛】关键要熟练掌握空间向量模的坐标表示，注意准确运算.5. “”是“直线和直线平行”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，直线即3x2y60，直线即，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的
3、截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线与直线平行时，能得出或综上所述，选A6. 已知正方体中，则直线与平面所成的角的正弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，然后利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，则，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角的正弦值为故选：C【点睛】利用空间向量求线面角问题是常用的方法，关键要认真仔细运算求得平面的一个法向量，要
4、熟练掌握线面角的正弦值公式.7. 已知点A(2, 3)，B(3, 2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A. k2或kB. k2C. kD. k2【答案】A【解析】试题分析：因为，结合图象可知，当或时，则直线与线段相交，故选A考点：直线的斜率8. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可【详解】建立空间直角坐标系，如图，则，所以，所以在上的投影为，所以点到直线的距离.故选：C.【点睛】此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于
5、基础题9. 如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为，依题意得,可取，同理可得平面C1DF的一个法向量为，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.故选B二、填空题10. 已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线AC
6、的斜率是直线BC的斜率的3倍，则m的值为_【答案】4【解析】【分析】直接运用两点之间的斜率公式，分别表示出AC与BC的斜率即可.【详解】由题意知，kAC3kBC，即： ，解得m4.故答案为m=4【点睛】考查了两点之间的斜率公式,运用公式,属于基础题.11. 已知向量，是三个不共面的非零向量，且，若向量，共面，则_.【答案】1【解析】【分析】由于向量，共面，所以存在实数，使得，然后将向量，代入化简可得，从而可求出的值【详解】因为向量，共面，所以存在实数，使得，则，则，解得.故答案为：1【点睛】此题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题12. 已知点在直线上，则的最小值为_.【答案】3【解析】【分
7、析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解.【详解】可以理解为点到点的距离，又点在直线上，的最小值等于点到直线的距离，且.故答案为：【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.13. 已知四面体，则_【答案】5【解析】【详解】四面体，.故答案为514. 已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为_【答案】或【解析】【分析】当直线平行于直线或过线段的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程.【详解】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，若直线l平行于直线AB，则其斜率，此时直线l的方程为，即，若直线
8、l经过AB的中点时，点，则AB中点的坐标为，当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是，综合可得：直线l的方程为：或，故答案为：或【点睛】本题表面考查点到直线的距离公式，实际上考查直线的平行和中点公式，直线方程的求法，关键在于转化为直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，然后求解.15. 已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_.【答案】【解析】【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标.【详解】解：因为点Q在直线OP上运动，所以，则，则则，所以当时，取最小值，此时故答案为：【点
9、睛】本题考查空间向量数量积的坐标表示，利用空间向量共线表示点的坐标，是基础题.三、解答题16. 已知的顶点、，试求：（1）求边的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出线段的中点坐标，利用两点式方程求出边上的中线所在的直线方程；（2）求出边所在直线的斜率，进而可以求出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式求边上的高所在的直线方程【详解】解：（1）线段的中点坐标为所以边上的中线所在直线的方程是：，即；（2）由已知，则边上高的斜率是，边上的高所在直线方程是，即【点睛】本题考查直线的点斜式，两点式求直线的方程，属于基础题17. 已知三棱锥PAB
10、C中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.【答案】45【解析】【详解】本试题主要考查了空间中的线线位置关系，以及线面角的求解的综合运用设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）（）, 因为， 所以CMSN （）, 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则因为所以SN与平面CMN所成角为4518. 如图，在正四棱柱中，已知AB
11、2， ，E、F分别为、上的点，且.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)(2,2,0
12、)、(0,2,4)、(2，2,1)、(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，点E到平面ACF的距离d.故点E到平面ACF的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被
13、x轴反射（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在直线的方程（3）求与距离为的直线方程【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）解方程组求得的坐标，然后得出其关于轴的对称点的坐标；（2）解法一：根据反射原理，确定直线和直线的倾斜角的关系，进而利用斜率公式求得直线的斜率，得到直线的斜率，进而用点斜式写出方程；解法二：反射光线所在的直线的方程就是直线PN的方程，利用两点式可求；（3）利用直线平行的条件设出所求直线的方程，利用平行直线间的距离公式求出所求直线的方程.【详解】解：（1）由得，所以点M关于x轴的对称点P的坐标（2）解法一：因为入射角等于反射角， 直线MN的倾斜
14、角为，则直线的斜角，所以直线的斜率故反射光线所在的直线的方程为：即解法二：因为入射角等于反射角， 所以反射光线所在的直线的方程就是直线PN的方程直线PN的方程为：，整理得：故反射光线所在的直线的方程为（3）设与平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得，或，所以与距离为的直线方程为：或【点睛】本题关键是光线反射原理：入射角等于反射角，从而得到入射线与反射线所在直线的倾斜角的关系，求到给定直线距离为定值的直线的方程，关键是根据直线平行的条件设出所求直线的方程，熟练掌握平行直线的距离公式是解题的关键.20. 如图，在四棱锥中，平面，且，N为的中点.（1）求证：平面（2）求平面与平面所成锐二
15、面角余弦值（3）在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）首先过作，垂足为，以为坐标原点，分別以，为轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，根据即可证明平面.（2）求出平面法向量为，再代入二面角公式计算即可得到答案.（3）首先假设线段上存在一点，设，得到，根据直线与平面所成角的正弦值为，求得，以及 .【详解】（1）过作，垂足为，则，以为坐标原点，分別以，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面的一个法向量为，则，令，解得：.因为，所以又平面，所以平面（2）设平面的一个法向量为，因为，所以，令，解得.所以.即平面与平面所成锐二面角的余弦值.（3）假设线段上存在一点，设，.因为，所以则因为平面的一个法向量所以， 整理得：，所以，因为，所以.所以存在，且.【点睛】本题主要考查利用立体几何向量法证明线面平行和二面角的求法，同时考查了线面角的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题.
