1、河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）考生注意：1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：高考全部内容，第I卷一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. （-1，3）B. （1，1）C. （0，1）D. （0，6）【答案】C【解析】【分析】由集合描述得到集合，利用集合基本运算求交集即可；【详解】由，故选：C【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述得到集合，应用交集运算求集合，属于简单题；2. （ ）A
2、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接运算计算结果.【详解】由题意，故选：B.【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.3. 在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】根据平均数公式列式即得结果.【详解】由题意得样本平均值为故选：A【点睛】本题考查平均数公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 若：直线与双曲线只有一个公共点，：直线与双曲线相切，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不
3、必要条件【答案】B【解析】【详解】直线与双曲线有一个公共点时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线相切不成立；直线与双曲线相切时，可以推出直线与双曲线有一个公共点，命题成立，所以是的必要不充分条件.故选B.【点睛】直线与双曲线的位置关系用数形结合研究比较简洁，当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线未必相切，可以是与渐近线平行，与双曲线类似的还有抛物线，直线与抛物线除了相切可以有一个公共点外，还可以是与对称轴平行.5. 已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，再由，利用基本不等式求出其最小值即可.【详解】，
4、（当且仅当，即时取等号），故选：D【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.6. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数定义可知为奇函数，且函数符号 即可知正确选项；【详解】因为，所以为奇函数，当时，故选：D【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性以及区间函数值符号确定函数图象；7. 设函数的定义域为，是其导函数，若，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. （0，1）【答案】C【解析】【分析】由已知条件构造函数，则，可得在上单调递减，由，可得等价于，从而可求出不等式的解集.【详解】令，则，因
5、为，所以，所以在上单调递减因为，所以等价于，解得，所以不等式的解集是故选：C.【点睛】此题考查导数的应用，考查由函数的单调性解不等式，解此题的关键是利用已知条件构造函数，属于中档题.8. 蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某“鞠”表面上的四个点，满足cm，cm，cm，则该“鞠”的表面积为（ ）A. cm2B. cm3C. cm2D. cm2【
6、答案】A【解析】【分析】根据题意，得到，不共面；根据题中条件，可把，四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径设该长方体的长、宽、高分别为，“鞠”的半径为，结合题中数据求出半径，即可得出“鞠”的表面积.【详解】若，共面，则“鞠”的半径无法确定；因此，不共面；因为，所以可以把，四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径设该长方体的长、宽、高分别为，“鞠”的半径为，则因为，则，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.二、选择题：9. 由函数的图象得到函数的图象的过程中，下
7、列表述正确的是（ ）A. 先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B. 先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度C. 先将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D. 先将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】AC【解析】【分析】先利用诱导公式化简得，然后利用函数的图像变换规律，得出结论【详解】方式一：先将的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度方式二：先将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）故选：AC【点睛】此
8、题考查诱导公式的应用，考查函数的图像变换规律，属于中档题10. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题结合上述观点，可得方程的解为（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由得|其几何意义为平面内一点与两定点距离之差的绝对值为2平面内与两定点距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线，从而求出双曲线的方程为，然后与直线联立方程组可求得答案【详解】由得|其几何意义为平面内一点与两定点距离之差的绝对值为2平面内与两定点距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线设该双曲线
9、的方程为，则解得，所以该双曲线的方程是联立方程组解得故选：AC【点睛】此题考查方程的解的求法，利用数学转化的思想，把解方程问题转化为双曲线的点的坐标问题，属于中档题11. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】设，令记可判断A，令可判断B，令可判断C和D.【详解】记，则令，则，所以为的展开式中的系数，因为的通项为，所以又所以，所以即故选：ACD.【点睛】本题考查二项式定理，考查分析与转化的能力.12. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 为偶函数B. 在上单调递增C. 在2016，2020上恰有三个零点D. 的最大值为2【答案】
10、AD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，直接判断，可得A正确；根据题意，得到函数是奇函数，且周期为4，得出时，从而可判断B错，C都错；结合其对称性与解析式，可得D正确.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确因为，所以的图象关于直线对称，又是奇函数，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示所以当时，当时，单调递减，故B错误在上零点的个数等价于在上零点的个数，而在上有无数个零点故C错误当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，故D正确故选：AD.【点睛】本题主要考查函数基本性质的综合，以及函数零点问题，熟记函数基本性质，以及
11、函数零点的判断方法即可，属于常考题型.第卷三、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上13. _【答案】【解析】【分析】由，由诱导公式结合正切的和角公式可得出答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式可正切和角公式的应用，属于基础题14. 已知向量，若与同向，则_【答案】2【解析】【分析】由向量平行性质列出关于的方程，检验后可得答案.【详解】解：有题意与同向，所以可得，所以，解得，经检验都满足题意，故答案为：2.【点睛】本题主要考察平面向量平行的性质，考察学生的基础知识与基本计算能力，注意对结果进行验算.15. 将六根长为2米的硬钢丝与三根长为3米的硬钢丝焊接成一个三棱柱，假设
12、钢丝是极细的（计算体积时可将每根钢丝当作线段），焊接过程中钢丝长度不改变若所得三棱柱的体积为立方米，则该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】根据题意可得三棱柱的底面为正三角形,侧棱长为3米，根据柱体的体积公式求出棱柱的高，即求.【详解】由于只有三根长为3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是3米，所以这三根只能做棱柱的侧棱，所以该三棱柱的底面为正三角形设该三棱柱的高为米，所以，解得，所以该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为故答案为：【点睛】本题考查了柱体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题.16. 已知，直线的斜率与直线的斜率之差是，则点的轨迹的方程是_若点的坐标为，是
13、直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设点，利用斜率公式结合条件“直线的斜率与直线的斜率之差是”化简计算可得出点的轨迹方程；设点，利用可求得点的纵坐标，利用抛物线的定义可求得.【详解】设，则，整理得点的轨迹的方程是，如下图所示：设点、，解得.由抛物线的定义可得.故答案为：；.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了抛物线焦半径长的计算，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说
14、明理由问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，_，且，？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析.【解析】【分析】由条件可得，若选，则可求出边，再用余弦定理可求解；若选，由正弦定理可得，结合条件可得出边，由条件进一步得出，再用余弦定理可求解；若选，即由，由余弦定理可得，故不成立.【详解】解：选：， ，符合，故存在满足条件的选：由正弦定理,则 ，由，解得：符合，故存在满足条件的选：，得，不成立故不存在满足条件的【点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式
15、变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围属于中档题.18. 已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式；（2）求出，即可得，利用裂项相消法可求解.【详解】（1）成等比数列，则，解得，；（2），.【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求数列前n项和，属于中档题.19. 2020年上半年受新冠疫情影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽
16、车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量（单位：辆）如下表：第天345678销售量（单位：辆）172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程.（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：
17、回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：【答案】（1）；（2）；（3）可行，29.【解析】【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；（3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，（2）所以（3）由（2）知，时，25-24=1；时，27-27=0所以求得的线性回归方程“可行”时，【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 如图，在三棱柱ABCA1B
18、1C1中，B1C1平面AA1C1C，D是AA1的中点，是边长为1的等边三角形.（1）求证：CDB1D；（2）若BC=，求二面角BC1DB1的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得;根据B1C1平面AA1C1C，得,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形，所以因为B1C1平面AA1C1C，平面AA1C1C，所以因为为平面B1C1D内两相交直线，所以平面B1C1D因为平面B1C1D,所以CDB1D；（2）以D为坐标原点，过平行直线为轴建立如图
19、所示空间直角坐标系，则设平面BC1D的一个法向量为，平面C1DB1的一个法向量为由得令由得令因为二面角BC1DB1为锐二面角，所以二面角BC1DB1为【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，且截直线所得线段的长为（1）求椭圆的方程；（2）若，为上的两个动点，且证明：直线过定点，并求定点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析；直线过定点【解析】【分析】（1）根据截直线所得线段的长为，可得，再结合短轴长为2求解. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据，且垂直轴，可得，
20、结合韦达定理可求m与k的关系，再代入直线方程求解.【详解】（1）把代入，得，则，即又，则，所以，故的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得设，的坐标分别为，则，且，设直线，的倾斜角分别为，且垂直轴，即，则，即，化简可得，则直线的方程为，故直线过定点【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22. 已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，是函数最小的零点，求证：函数在区间上单调递减（注：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，得出切点坐标，由得出切线的斜率方程，得出答案.（2）由，讨论出函数的单调区间，得出，从而当时，将绝对值打开，利用导数研究即可.【详解】（1）解：当时，所以，且，函数在处的切线斜率所以函数在处的切线方程为，即（2）证明：由，令，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间单调递减，所令，则，所以在区间单调递增，而当时，由题意，可以得所以当时，则，当时，要想证明函数在区间上单调递减，只需，故只要证明记，区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以，且区间上单调递增，所以，所以函数在区间上单调递减【点睛】本题考查求函数的切线方程，考查函数的零点，讨论分析参数的单调性问题，考查分析问题，等价转化的能力，属于难题.