1、数列阅卷案例思维导图(2020全国卷，T17，12分)设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.本题考查：递推数列、错位相减法等知识，逻辑推理、数学运算等核心素养.答题模板标准解答踩点得分第1步：归纳、猜想由特殊到一般，发现规律，猜想通项.第2步：证明利用数学归纳法证明猜想的正确性.第3步：求和依据数列的特点，选择恰当的求和方法.关键步骤第4步：计算注意错位相减法的计算方法，计算务必细心.(1)由a13，an13an4n得第(1)问得分点及说明： 1.只要a2，a3数据计算正确就各得1分.2.猜想正确再得1分
2、.3.符合数学归纳法证明步骤得全分，否则不得分.第(2)问得分点及说明：1.列出Sn的表达式并想利用错位相减法求和得2分.2.“Sn”计算正确，不化简不扣分.3.Sn的计算正确，但没化到最简不扣分.命题点1等差、等比数列的基本量的运算1两组重要公式(1)等差数列：Snna1d；aman(mn)d；若m，n，p成等差数列，则2anamap.(2)等比数列：Sn(q1)；amanqmn；若m，n，p成等比数列，则aamap.2等差(比)数列的运算技巧：(1)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解；(2)要注意消元法及整体计算，以减少
3、计算量3由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，充分使用通项公式、求和公式、数列的性质，确定基本量解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略 高考题型全通关1(2020全国卷)设等比数列an满足a1a24，a3a18.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log3an的前n项和若SmSm1Sm3，求m.解(1)设an的公比为q，则ana1qn1.由已知得解得a11，q3.所以an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知log3ann1.故Sn.由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m
4、60.解得m1(舍去)，m6.2(2020惠州第二次调研)在数列an中，a11，a2，an1an，其中nN*，为常数(1)求 的值；(2)设bn，求数列bn的通项公式解(1)将n1代入an1an，得a22a1，由a11，a2，得3.(2)由an1an，得，即bn1bn.当n1时，b11，当n2时，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)，所以bn(n2)因为b11也适合上式，所以bn.命题点2数列的证明问题1判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法： 对于任意n1，nN*，验证an1an为与正整数n无关的同一个常数；(2)中项公式法2q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列
5、的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零3若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可 高考题型全通关1已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项(1)求证：数列S为等差数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)证明：由题意知2Snan，即2Snana1，当n2时，有anSnSn1，代入式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1(n2)又当n1时，由式可得a1S11(负值舍去)，数列S是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)可得S1n1n，数列an的各项都为正
6、数，Sn，当n2时，anSnSn1，又a1S11满足上式，an(nN*)(3)由(2)得bn(1)n()，当n为奇数时，Tn1(1)()()()；当n为偶数时，Tn1(1)()()()，数列bn的前n项和Tn(1)n(nN*)2已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.解(1)证明：原式可转化为Sn2(SnSn1)n4(n2)，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2由S12a114，得S13，所以S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2的等比数列(2)由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，所以Tn
7、(22232n1)(12n)2n2n.命题点3数列求和1裂项相消法就是把数列的每一项分解成一正一负的两项，使得相加后，项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项相消，有的是间隔项相消常见的裂项方式有：；等2当数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法用错位相减法求数列的前n项和时，应注意：等比数列的公比为负数的情形；在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“SnqSn”的表达式高考题型全通关1(2020广东四校联考)设数列an的前n项和为Sn，a12，an12Sn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)
8、令bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)an12Sn(nN*)，当n1时，a22S1，即a24，当n2时，an2Sn1，可得an1anSnSn1，即an12an，ana22n22n，n2，当n1时，a1212，满足上式，an2n(nN*)(2)由(1)得bn，Tn.Tn.2(2020福州模拟)设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an，n1，2，3，.数列bn满足b11，且bn1bnan.(1)求数列bn的通项公式；(2)设cnn(3bn)，数列cn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)n1时，a1S1a1a12，a11.Sn2an，即anSn2，an1Sn12.两式相减得an1a
9、nSn1Sn0，即an1anan10，故有2an1an，由Sn2an，知an0，(nN*)an是首项为1，公比为的等比数列，其通项公式为an.bn1bnan(n1，2，3，)，bn1bn，b2b11，b3b2，b4b3，bnbn1 (n2，3，)将这n1个等式相加得，bnb112.又b11，bn3 (n2，3，)，当n1时也满足上式，bn3 (nN*)(2)cnn(3bn)2n，Tn2.Tn2.得，Tn22n (nN*)，Tn44n8(84n)(n1，2，3，)命题点4以数列为载体的“条件不良”问题高考题型全通关1(2020枣庄模拟)在b11，b48，Tn2nk，b11，Sn这三个条件中任选一
10、个，补充在下面问题中，作为问题的条件，再解答这个问题设等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，_，a1b4，a54，若数列anbn的前n项和为An，则An是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，当选时，因为b11，a1b48，a54，所以d1，an8(n1)(1)9n，q38，q2，bn(2)n1，则anbn(n9)(2)n1，Ana1b1a2b2anbn(8)(2)0(7)(2)1(n9)(2)n1，2An(8)(2)1(7)(2)2(n9)(2)n，两式相减
11、，并化简得An(2)n.易知An不存在最大值当选时，Tn2nk，可知b12k，b2T2T12，b3T3T24，又bb1b3，所以4(2k)4，k1，可知Tn2n1，当n2时，bnTnTn12n1，又b11符合上式，所以bn2n1.所以a1b48，又a54，所以d1，an8(n1)(1)9n，anbn(9n)2n1，可知当n9时，anbn0，所以anbn的前8项和与前9项和最大，且最大值为A8A9502.当选时，由Sn，可得当n2时，anSnSn1n，因为a54，所以54，得m17，故Sn，当n2时，an9n，a1S18也符合上式，所以an9n.又b4a18，b11，所以q38，q2，bn2n1
12、.anbn(9n)2n1，可知当n9时，anbn0，所以anbn的前8项和与前9项和最大，且最大值为A8A9502.2(2020青岛模拟)在a3b30，S319.5，a3a12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由已知等差数列an的公差为d，Sn是数列an的前n项和，等比数列bn的公比为q(q1)，Tn是数列bn的前n项和，_，b11，T33，dq，是否存在正整数，使得关于k的不等式(30Sk)10有解？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分解由b11，T3b1(1qq2)3，得q2或q1(舍去)，bn(2)n1.选，a3b30，a3b34，dq2，ana32(n3)2n10，a18，Snn(n9)20，由(30Sk)10得1，1，当1时，30Sk10，解得k4或5，故存在1，使得关于k的不等式(30Sk)10有解选，S319.5，a26.5，dq2，ana22(n2)2n10.5，a18.5，Snn(n9.5)22.5.由(30Sk)10得2，1，当1时，30Sk10，解得k4或5或6，故存在1，使得关于k的不等式(30Sk)10有解选，a3a126，a23，dq2，ana22(n2)2n1，a11，Snn2，30Sk10，不存在正整数，使得关于k的不等式(30Sk)10有解