1、1.3 三角函数的诱导公式(二)1.诱导公式五、六cos sin sin2.公式的语言概括(1)函数值：的正弦(余弦)函数值,分别等于的_函数值.(2)符号：函数值前面加上一个_原函数值的符号.(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现_的相互转化.2余弦(正弦)把看成锐角时正弦函数与余弦函数1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)=-cos.()(2)若为第二象限角，则=-cos.()(3)=cos.()sin()2 sin()2 3sin()2【解析】(1)错误.(2)正确.此处可为任意角.(3)错误.答案：(1)(2)(3)sin()cos.2 sin()sin()cos 22 ，3
2、sin()cos.2 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知sin 40a，则cos 130等于_(2)sin 95cos 175的值为_(3)sin 480的值为_【解析】(1)cos 130cos(90+40)-sin 40-a.答案：-a(2)sin 95+cos 175sin(90+5)cos(180-5)cos 5cos 50.答案：0(3)sin 480sin(360+120)sin 120 sin(90+30)cos 30 答案：3.232【要点探究】知 识 点 诱导公式五、六1.对诱导公式五、六的两点说明(1)诱导公式五、六反映的是角 与的三角函数值之间的关系.可借用
3、口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆.(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.22.对诱导公式一六的两点说明(1)诱导公式一六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系.(2)这六组诱导公式可归纳为“k90(kZ)”的三角函数值与的三角函数值之间的关系.当k为偶数时得角的同名三角函数值,当k为奇数时得角的异名三角函数值.然后在前面加上一个把角看成锐角时原三角函数值的符号.可简记为“奇变偶不变,符号看象限”.【知识拓展】三角形中的诱导公式 由于A+B+C=，所以A+B=C，所以 所以sin(A+B)=sin(C)=s
4、in C；cos(A+B)=cos(C)=-cos C；ABC.222ABCCsin sin()cos 2222；ABCCcos cos()sin.2222【微思考】在三角函数式的化简求值中，诱导公式五、六有何作用？提示：利用诱导公式五或六，可以实现正、余弦函数的相互转化.【即时练】1.化简=_.【解析】答案：-cos 3sin()2 3sin()sin()22 sin()cos.2 2.(2014铜陵高一检测)已知则tan(-)的值为_.【解析】由题意得cos=则sin=所以tan=所以tan(-)=-tan=答案：3,sin()225 ，3,54,54,34.343【题型示范】类型一 给角
5、(值)求值问题【典例1】(1)已知cos 31=m，则sin 239tan 149的值是()(2)(2014洛阳高一检测)已知求的值.22221 m1 mA.B.1 m C.D.1 mmm 1sin()32，cos()6 【解题探究】1.题(1)中怎样将31和239，149通过特殊角联系起来？2.题(2)中涉及的两个角有什么关系？【探究提示】1.239=270-31，149=180-31.2.()().362 【自主解答】(1)选B.sin 239tan 149=sin(27031)tan(18031)=cos 31(tan 31)=sin 31=(2)21 m.1cos()cos()sin(
6、).62332 【延伸探究】若本例(2)题设不变，如何求的值呢？【解析】5cos()651cos()cos()sin().62332 【方法技巧】给角求值的转化方法(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数.若转化以后的正角大于360，再利用诱导公式一，化为0到360间的角的三角函数.(2)当化成的角是90到180间的角，利用180-的诱导公式化为0到90间的角的三角函数.(3)当化成的角是180到270间的角，利用180+的诱导公式化为0到90间的角的三角函数.(4)当化成的角是270到360间的角，则利用-360+的诱导公式化为负角的三角函数，进一步转化为0到90
7、间的角的三角函数.【变式训练】已知则的值等于_【解题指南】利用 以及诱导公式求解.【解析】因为 所以 所以 答案：1sin()43，cos()4()()442()()442，()424 ，1cos()cos()sin().4244313【补偿训练】已知cos=则=_.【解析】=-cos sin(-tan)=sin2=1-cos2=答案：13，3sin()cos()tan()22 3sin()cos()tan()22 2181().3989类型二 利用诱导公式化简、求值问题【典例2】(1)(2014菏泽高一检测)化简_.(2)已知化简：3sincos()2 sin()cos()2 1cos()2
8、3，3sin()cos()sincos()222.cossin 【解题探究】1.题(1)中 应如何处理?2.题(2)中由已知条件 可得出哪个三角函数值?【探究提示】1.2.由条件 3cos()2 1cos()23 ，3cos()cos()22 cos()sin.2 11cos()sin.233 知【自主解答】(1)原式 sin2cos21.答案：1(2)原式 sin sin 2sin.又 所以 所以原式 sin cos()cos cos 2 cossinsinsin cossin 1cos()23，1sin.32.3【方法技巧】用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵
9、循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.(2)对于和 这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.2 【变式训练】已知sin(180)090.求的值1010，sinsin90cos 540cos(270)【解析】由sin(180)-sin=090，得 所以原式 1010，103 10sin cos 1010，sin sin 90cos 360180cos(270)103 10sin cos 10102.cos sin 3 10101010 【补偿训练】sin21+sin22+sin23+sin288+sin289+
10、sin290的值等于 .【解析】因为sin21+sin289=sin21+cos21=1，sin22+sin288=sin22+cos22=1，sin2x+sin2(90-x)=sin2x+cos2x=1(1x44，xN).所以原式=(sin21+sin289)+(sin22+sin288)+(sin244+sin246)+sin290+sin245 答案：229145().22912类型三 利用诱导公式证明等式【典例3】(1)求证：(2)求证：232sin()cos()1sin cos 22.sin cos 1 2sin tan 2sin2cos 6tan.cossin 5 【解题探究】1.
11、题(1)中证明等式时，符合什么特点可以从一边开始，化简使得它等于另一边？2.题(2)中的证明思路是什么？【探究提示】1.由繁到简的特点.2.证明题(2)时可以从左向右证明.【自主解答】(1)右边=左边.所以原等式成立.232sin()sin 121 2sin22sin()sin 121 2sin 22sin()sin 121 2sin222222sin cos 2cos sin 1sin cos cossin2sinsincossin cos (2)左边 右边 所以原式成立sin(2)sin()coscos(2)cossin()sin(sin)cossin tan cos(cos)sin co
12、s 【方法技巧】证明等式的常用方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.【变式训练】求证：5cos(x)21.5sin(x)tan 6x2 【证明】因为 =-1=右边.所以等式成立.5cos(x)25sin(x)tan(6x)2 cos(2x)2sin(x2)tan(x)2 cos(x)sin x2cos xtan xsin(x)tan x2【补偿训练】已知f(sin x)=sin(4n+1)x(nZ
13、，xR)，求证：f(cos x)=cos(4n+1)x.【证明】f(cos x)=cos(4n+1)x.f(sin(x)2 sin 4n1(x)24n1sin4n1 x2【规范解答】诱导公式的综合应用【典例】(12分)已知f()=(1)化简f().(2)若是第三象限角，且求f()的值.(3)若求f()的值.3sin(3)cos(2)sin()2.cossin 31cos()25，313，【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升 失分点1：在解答过程中，若诱导公式把握不准，就会在处出现符号或三角函数名称的错误.此时本例不得分.失分点2：在解答过程中，若忽略角是第三象限角
14、，就会在处求解cos 的值时出现符号的错误，是本例不应该失分的地方，此时最多得6分.失分点3：若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不会转化，则在处出现角的错误，此时导致错误答案,最多得8分.【悟题】提措施，导方向 1.准确把握诱导公式 对于六组诱导公式，要从本质上理解、形式上记忆准确，理解“奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角名称和符号.如本例中在，处的化简.2.三角函数值符号的确定 对于三角函数值的符号的准确判定，一定要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误，如本例在处求解cos 的值时，若忽略是第三象限角这一条件或符号记错，都会导致错误.【类题试解】已知：f()=(1)化简f().(2)若的终边在第二象限且求f().sincoscos()2.cossin 2tan 3sin 5 ，【解析】(1)f()=(2)由题意知 所以f()=cos=sincoscos()2cossin 2tan sin cos sin cos.cos sin tan 24cos 1 sin5 ，4.5