1、金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1.设集合,则 .2.已知复数,其中是虚数单位,则的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体中, ,则三棱锥的体积为 .6.在平面直角坐标系中,若双曲线的一条渐近线方程为,则实数的值为 .7.设各项均为正数的等比数列的前项和为，若,则数列的通项公式为 .8.将一颗
2、均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则“”的概率是 .9.若实数满足条件则的取值范围为 .10.在平面直角坐标系中,已知,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为 .11.如图,在平面四边形中, 是对角线的中点,且，. 若,则的值为 .12.若对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为 .13.在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,记为中的最小值.设函数，函数,若在恰有一个零点,则实数的取值范围是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解
3、答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.16.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面, ,点在棱上, ,点是棱的中点,求证：(1) 平面;(2) 平面.17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄和供电站恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且位于河流的两岸,村庄侧的河岸所在直线恰经过的中点.现欲在河岸上之间取一点,分别修建电缆和,.设,记电缆总长度为 (单位:千米).(1)求的解析式；(2)当为多大时,电缆的总长度最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率
4、为,且过点.设为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.19.设数列的前项的和为,且满足,对,都有 (其中常数),数列满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)若,求的值；(3)若,使得,记,求数列的前项的和.20.在平面直角坐标系中,已知函数的图像与直线相切,其中是自然对数的底数.(1)求实数的值；(2)设函数在区间内有两个极值点.求实数的取值范围；设函数的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围 . 高二数学(附加题)21.已知矩阵，.(1)求；(
5、2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.22.在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线的参数方程为,(为参数, ),直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)求曲线上的点到直线的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是.(1)求的值；(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望.24.如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3, ,垂足为
6、,交于点.(1)求证: 平面;(2)记直线与平面所成的角,求的值.试卷答案一、填空题.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 或二、解答题.15. 解(1)当时，所以.(2) ，若.则，即.因为，所以，所以 ，所以.16.证明(1)因为在中, ，所以点是棱的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线,所以.因为底面是矩形,以,所以.又平面, 平面,所以平面.(2)因为平面平面, 平面，平面平面，所以平面.又平面,所以.因为, ,平面,平面,所以平面.17.解(1)易得垂直平分，则，于是，因为在之间,所以，故，.(2) ，令,得，故当，递减,当,递
7、增, 所以,当时, .答:当时, 最小值为.18.解(1)设椭圆的方程为，由题意知解得所以椭圆的方程为.(2)设,则,又,所以直线的方程为.由消去，得.因为是该方程的一个解,所以点的横坐标.又点在直线上，所以，从而点的坐标为同理,点的坐标为，所以，即存在,使得.19.(1)证明:因为,都有，所以两式相减得,即，当时，所以，又因为,所以，所以数列是常数列, ，所以是以2为首项, 为公比的等比数列.(2)由(1)得.所以.(3)由(1)得.因为，所以当时, ，当时，.因此数列的前项的和.20. (1)设直线与函数相切于点，函数在点处的切线方程为: ，把代入上式得.所以,实数的值为.(2)由(1)知
8、,设函数在区间内有两个极值点，令,则,设,因为,故只需,所以, .因为,所以，由,得,且.设,令，(在上单调递减,从而，所以,实数的取值范围是.高二数学（附加题）21. 解(1)由题知，所以，根据逆矩阵公式,得.(2)设由上的任意一点在作用下得到上对应点.由，即解得，因为,所以，即.即直线的方程为.22.解(1)由得，由，得,即.(2)在上任取一点，则点到直线的距离为，当，即时，.23. 解(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,依题意, ，解得.(2)依题意, 的所有可能值为,且,，故.的概率分布列为:数学期望.24.解(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系，易得,设,则，因为,所以，解得,即,又,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2) ，设平面的一个法向量，则即令，则，即，.