1、基础诊断考点突破课堂总结第8讲 二项分布与正态分布 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.条件概率 在已知 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率叫作 B 发生时A 发生的_，用符号_来表示，其公式为 P(A|B)_(P(B)0).条件概率P(A|B)P（AB）P（B）基础诊断考点突破课堂总结2.相互独立事件(1)一般地，对于两个事件 A，B，如果有_，则称 A、B 相互独立.(2)如
2、果 A、B 相互独立，则 A 与 B、A 与 B、A 与 B 也相互独立.(3)如果 A1，A2，An 相互独立，则有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).P(AB)P(A)P(B)基础诊断考点突破课堂总结3.二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p；(3)各次试验是_的.用 X 表示这 n 次试验成功的次数，则P(Xk)_(k0，1，2，n)若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为 n，p的二项分布，简记为 XB(n，p).相互独立Cknpk(1
3、p)nk基础诊断考点突破课堂总结4.正态分布(1)XN(，2)，表示 X 服从参数为_的正态分布.(2)正态分布密度函数的性质函数图像关于_对称；_决定图像的“胖”“瘦”；P(X)_；P(2X2)_；P(3X0)的大小68.3%95.4%99.7%基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B).()(2)P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率，一定有 P(AB)P(A)P(B).()(3)在正态分布函数 ，(x)12 e（x）22 2中，是正态分布的期望值，是正态分布的标准差.()基础诊断考
4、点突破课堂总结(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0，1，2，n 表示的概率分布列，它表示了 n次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布.()(5)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.()解析 对于(2)，若A，B独立，则P(AB)P(A)P(B)，若A，B不独立，则P(AB)P(A)P(B|A)，故(2)不正确.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破课堂总结2.(教材改编)已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回
5、，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B.13C.38D.29解析 设“第一次拿到白球”为事件 A，“第二次拿到红球”为事件 B，依题意 P(A)21015，P(AB)23109 115，故 P(B|A)P（AB）P（A）13.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16基础诊断考点突破课堂总结解析 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品；事件 B：乙实习生加工的零件为一等品，且 A，B 相互独立，则
6、 P(A)23，P(B)34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)23134 123 34 512.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结4.(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432 C.0.36D.0.312 解析 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C230.62(10.6)30.620.4，投中 3 次的概率为 P(k3)0.63，所求事件的概率 PP(k2)P(k3)0.648.故
7、选 A.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结5.(2017 西安调研)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X2c1)P(X2c1)P(Xc3)，2c1c332，c43.答案 43基础诊断考点突破课堂总结考点一 条件概率【例 1】(1)从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)()A.18B.14C.25D.12(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”
8、，则P(B|A)_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一 事件 A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共 4 个.事件 AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即 n(AB)1.故由古典概型概率 P(B|A)n（AB）n（A）14.法二 P(A)C23C22C25 410，P(AB)C22C25 110.由条件概率计算公式，得 P(B|A)P（AB）P（A）11041014.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A)S正方形EFGHS圆O 2 212 2.事件 AB 表示“豆子落在EOH 内”，则 P(AB)SEOHS圆O 12121
9、2 12.故 P(B|A)P（AB）P（A）12214.答案(1)B(2)14基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)P（AB）P（A），这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得P(B|A)n（AB）n（A）.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(2016唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概
10、率为()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9 解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件 A，“第二个路口遇到红灯”为事件 B，则 P(A)0.5，P(AB)0.4，则 P(B|A)P（AB）P（A）0.8.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结考点二 相互独立事件的概率【例 2】(2017宝鸡质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元.求
11、该企业可获利润的分布列.基础诊断考点突破课堂总结解 记 E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知 P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25，且事件 E 与 F，E 与F，E与 F，E与F 都相互独立.(1)记 H至少有一种新产品研发成功，则H EF，于是 P(H)P(E)P(F)1325 215，故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2151315.基础诊断考点突破课堂总结(2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因为 P(X0)P(E F)1325 215，P(X100)P(EF)1335 31515，P(X120)P(E
12、F)2325 415，P(X220)P(EF)2335 61525.故所求的分布列为X0100120220 P2151541525 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】为了迎接 2017 在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙
13、、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错的概率是 112，乙、丙两个家庭都回答对的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.基础诊断考点突破课堂总结解(1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分 别 为 事 件A，B，C，则P(A)34，且 有P（A）P（C）112，P（B）P（C）14，即1P（A）1P（C）112，P（B）P（C）14，所以 P(B)38，P(C)23.基础诊断考点突破课堂总结(2)有 0
14、 个家庭回答对的概率为P0P(A BC)P(A)P(B)P(C)145813 596，有 1 个家庭回答对的概率为 P1P(ABC ABC A BC)345813143813145823 724，所以不少于 2 个家庭回答对这道题的概率为 P1P0P11596 7242132.基础诊断考点突破课堂总结考点三 独立重复试验与二项分布(易错警示)【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单 位：克)，质 量 的 分 组 区 间 为(490，495，(495，500，(510，515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图).基础诊断考
15、点突破课堂总结(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量.(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.解(1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3，所以质量超过505克的产品数量为400.312(件).(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，基础诊断考点突破课堂总结X 服从超几何分布.P(X0)C228C240 63130，P(X1)C112C128C240 2865，P(X2)
16、C212C240 11130，X 的分布列为X012 P63130286511130基础诊断考点突破课堂总结(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 505 克的概率为1240 310.从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 次独立重复试验，质量超过 505 克的件数 Y 的可能取值为 0，1，2，且 YB2，310，基础诊断考点突破课堂总结P(Yk)Ck21 7102k310k，所以 P(Y0)C027102 49100，P(Y1)C12 310 7102150，P(Y2)C223102 9100.Y 的分布列为Y012 P4910021509100基础诊断考
17、点突破课堂总结规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk 的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数 p；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了k 次的概率.基础诊断考点突破课堂总结易错警示 对于，超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取，各次抽取不独立，而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取，各次抽取是独立的，故处不要误作二项分布来处理；对于，当超几何分布所对应的总体数量很大时，可近似为二项分布来处
18、理，这一点不易想到.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】某架飞机载有 5 位空降兵依次空降到 A，B，C三个地点，每位空降兵都要空降到 A，B，C 中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用 X 表示地点 C 空降人数，求：(1)地点 A 空降 1 人，地点 B，C 各空降 2 人的概率；(2)随机变量 X 的分布列与数学期望.解(1)设“地点 A 空降 1 人，地点 B，C 各空降 2 人”为事件 M，易知基本事件的总数 n35243 个，事件 M 发生包含的基本事件 mC15C2430 个.故所求事件 M 的概率 P(M)mn 302431081.基础诊断考点突破课堂总结(2)
19、依题意，5 位空降兵空降到地点 C 相当于 5 次独立重复试验.XB5，13，且 X 的取值可能为 0，1，2，3，4，5.则 P(Xk)Ck513k1135k 1243Ck525k.P(X0)1243C0525 32243，P(X1)1243C1524 80243，P(X2)C25132233 80243，基础诊断考点突破课堂总结P(X3)C35133232 40243，P(X4)C45 124321 10243，P(X5)C55135 1243.所以随机变量 X 的分布列为：X012345 P32243802438024340243102431243根据二项分布，得 E(X)np51353
20、.基础诊断考点突破课堂总结考点四 正态分布【例4】(2015山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)68.26%，P(2X2)95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%基础诊断考点突破课堂总结解析 依题设，XN(0，32)，其中 0，3.P(3X3)0.682 6，P(6X6)0.954 4.因此 P(3X6)12P(6X6)P(3X3)12(0.954 40.682 6)0.135 913.59%.答案 B 基础诊断
21、考点突破课堂总结规律方法(1)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X).基础诊断考点突破课堂总结【训练4】(2017南昌一模)已知随机变量XN(1，2)，若P(0X2)0.4，则P(X0)()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 解析 P(X0)12(1P(0X2)12(10.4)0.3，故选 C.答案 C 基础诊断考点
22、突破课堂总结思想方法1.古典概型中，A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)P（AB）P（A）n（AB）n（A），其 中，在实 际应用中 P(B|A)n（AB）n（A）是一种重要的求条件概率的方法.2.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B).基础诊断考点突破课堂总结3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，
23、事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是P(Xk)Cknpkqnk.其中 k0，1，n，q1p.4.若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线X对称和曲线与x轴之间的面积为1.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立.2.独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件.3.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
