1、2.3.3直线与圆的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1理解直线与圆的三种位置关系(重点)2会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系(重点)3能解决直线与圆位置关系的综合问题(难点)1通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养2通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系你发现了吗？知识点1直线与圆的位置关系的判定(直线AxByC0，AB0，圆(xa)2(yb)2r2，r
2、0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000图形(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置
3、关系的常用方法1(1)直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离D无法判断(2)直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是_(1)B(2)(0，1)(1)圆心(0，0)到直线3x4y50的距离d1，又圆x2y21的半径为1，dr，故直线与圆相切(2)由题意得圆心(0，a)到直线xy10的距离大于半径a，即a，解得1a1，又a0，0a1知识点2直线与圆相切的几个重要结论1自一点引圆的切线的条数(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线2切线方程的几
4、个重要结论(1)经过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2(2)经过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2(3)经过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yDEF0(4)已知圆x2y2r2的切线的斜率为k，则圆的切线方程为ykxr3切线长公式(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(xa)2(yb)2r2的切线，则点P到切点的切线长d(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)的切线，则点P到切点的切线长d2(1)已知圆的方程为x2y2
5、1，则经过圆上一点M(1，0)的切线方程是()Ax1By1Cxy1Dxy1(2)从圆(x1)2(y1)21外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为_(1)A(2)2(1)法一：由圆的方程为x2y21，可知圆心的坐标为(0，0)，圆的半径r1，故经过圆上一点M(1，0)的切线方程是x1法二：直接应用知识点2中切线方程的第(1)个结论得，所求切线方程为1x0y12，即x1(2)法一：点P(2，3)到圆心(1，1)的距离为，则切线长为2 法二：利用切线长公式，易得切线长为2 类型1直线与圆位置关系的判定【例1】(对接教材人教B版P107例1)已知直线yxb与圆x2y22，当b为何值时，圆与直线有两个
6、公共点？只有一个公共点？没有公共点？解法一：由得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)(1)当2b2时，0，直线与圆有两个公共点(2)当b2或b2时，0，直线与圆只有一个公共点(3)当b2或b2时，0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点法二：圆的半径r，圆心O(0，0)到直线yxb的距离为d当dr，即2b2时，圆与直线相交，有两个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点直线与圆的位置关系的判断方法跟进训练1已知圆的方程x2(y1)22，直线yxb，当b
7、为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？无公共点？解法一：由得2x22(1b)xb22b10，其判别式4(1b)28(b22b1)4(b3)(b1)，当3b1时，0，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；当b3或1时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；当b3或b1时，0，方程无实数根，直线与圆无公共点法二：圆心(0，1)到直线yxb距离d，圆半径r当dr，即3b1时，直线与圆相交，有两个公共点；当dr，即b3或1时，直线与圆相切，有一个公共点；当dr，即b3或b1时，直线与圆相离，无公共点 类型2求圆的切线方程【例2】过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线
8、，求此切线的方程解因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360(2)若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4综上，所求切线方程为15x8y360或x4过一点求圆的切线方程的方法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率
9、为零或不存在，则由图形可直接得切线方程xx0或yy0(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解跟进训练2过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，求该直线的方程解圆x2y24x30化为标准式(x2)2y21，圆心C(2，0)，设过原点的直线方程为ykx，即kxy0直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即1，3k21，k2，解得k切点在第三象限，k0，所求直线方程
10、为yx 类型3直线截圆所得弦长问题【例3】直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2y225相交截得的弦长为4，求l的方程1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长|AB|2解据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)法一：联立方程得消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0由10k(1k)24(k21)25k(k2
11、)0，解得k0又x1x2，x1x2，由斜率公式，得y1y2k(x1x2)|AB|4两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2，符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半在RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42，则|OH|，解得k或k2直线l的方程为x2y50或2xy50(变条件)直线l经过点P(2，1)且被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长最短，求此时直线l的方程解圆的方程为(x3)2(y1)225，圆心C(3，1)因为|CP|5，所以点P在圆内当CPl时，弦长最短又kCP2所以kl
12、，所以直线l的方程为y1(x2)，即x2y0直线与圆相交时弦长的2种求法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2，则|AB|2图1图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在且不为0)跟进训练3直线xy20，截圆x2y24所得的弦长是_2圆心到直线xy20的距离d所以弦长l2221直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离B圆心到直线的距离d1又直线yx1不过圆心(0
13、，0)，直线与圆相交但不过圆心2设直线l过点P(2，0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()A1BCDC设l：yk(x2)，即kxy2k0又l与圆相切，1k3若圆C：(x5)2(y1)2m(m0)上有且只有一点到直线4x3y20的距离为1，则实数m的值为()A4B16C4或16D2或4A由题意知直线与圆相离，则有1，解得m4，故选A4直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为_4圆的标准方程为(x1)2(y2)25，圆心(1，2)到直线x2y50的距离d1，所以弦长为245若直线xym0与圆x2y22相离，则m的取值范围是_(，2)(2，)因为直线xym0与圆x2y22相离，所以，解
14、得m2或m2回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法？提示(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可2利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题？提示(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为xay10，则应将其化为xay1，然后代入消x(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义