1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第七节 指数与指数函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理解分数指数幂的概念2掌握有理指数幂的运算性质3掌握指数函数的概念、图象和性质4能够利用指数函数的性质解决某些简单的实际问题考试热点1.以选择题或填空题的形式考查有关函数值的求法、数值的计算或数值的大小比较问题2与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容结合，以综合题的形式出现.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有
2、 盗版必究 1定义 正整数指数幂：负整数指数幂 零指数幂：零指数幂：a0，特别注意.分数指数幂(根式)：a01Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2运算性质aman，aman.(am)n，(ab)n，(ab)nanbn(b0)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3指数函数图象与性质定义形如yax(a0且a1)的函数叫指数函数图象Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 性质(1)定义域：(2)值域：(3)过点，即x0时，y1(4)在R上是在R上是(5)x0时，y1x0时，0y1xCopyright 2004-2009 版权所有
3、盗版必究 1下列运算结果中错误的是()答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2函数f(x)axb的图象如图1所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0 解析：所给图象是由f(x)ax的图象左移得到的，故b0，又由递减性知，0a1，选D.答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3化简4(74 3)2_.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4若指数函数yf(x)的图象经过点(2,4)，则f1(8)_.答案：
4、3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知函数f(x)2x22xa(2x2)(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值为64，求f(x)的最小值 解：(1)f(x)2(x1)2a1(2x2)，在2，1上，f(x)为减函数，在1,2上，f(x)为增函数 即f(x)的减区间是2，1，f(x)的增区间是1,2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)设U(x)(x1)2a1(2x2)则U(x)的最大值为U(2)8a，最小值为U(1)a1.f(x)的最大值为f(2)28a，最小值为f(1)2a1.28a64，a2.f(x)的最小值f(1
5、)221Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 1(1)已知 t 127，求的值；(2)化简Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析(1)先用公式化简后再代入求值；(2)根式化为分数指数幂后，再化简Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升(1)有条件等式的求值问题，先对式子恰当变形，再适时代入求值是非常有效的解题策略(2)涉及根式的化简问题，
6、依据式子的结构特点可将根式转化成分数指数幂的形式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例2 已知f(x)|2x1|.图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)求函数f(x)的单调区间；(2)比较f(x1)与f(x)的大小Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)解法 1：由 f(x)|2x1|2x1，x0，12x，x0 时，f(x)0 即 f(x)在(0，)上递增；当 x0 时，f(x)0 即 f(x
7、)在(，0)上递减Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)解法 1：f(x)的图象向左平移一个单位即可得到f(x1)的图象由|2x11|12x|，得 32x2，即 xlog223.因此 f(x)的图象与 f(x1)图象交点的横坐标为log223.当 xlog223时，f(x1)log223时，f(x1)f(x)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：|2x11|2x1|(2x11)2(2x1)2(32x2)2x02x23xlog223.即当 xlog223时，f(x1)f(x)；同理当 xlog223时，f(x1)f(x)；当 xlog22
8、3时，f(x1)0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_图3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：数形结合由图 3 可知 02a1，0a0 且 a1)在区间(13，23)上为减函数，求 a 的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 由 a0 知，函数 uax2(2a1)x1 在(，1 12a上是减函数，在1 12a，)上是增函数当 a(0,1)时，yau 是减函数，故当(13，23)1 12a，)时，f(x)为减函数，此时 a(0，34；同理 a(1，)时，当 a32，)时，f(x)在(13，23)上为减函数a 的取值范围为
9、(0，3432，)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 根据指数函数的定义，研究指数函数通常从分析底数a开始，当底数a1时，指数函数是增函数；当0a0且a1，讨论f(x)ax23x2的单调性Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：设 ux23x2(x32)2174，当 x32时，u 是减函数，x32时，u 是增函数又当 a1 时，yau 是增函数；当 0a1 时，f(x)ax23x2 在32，)上是减函数，在(，32上是增函数；当 0a1 时，f(x)ax23x2 在(，32上是减函数，在32，)上是增函数Copyright 2004-2
10、009 版权所有 盗版必究 例 4 定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(x)f(x2k)(kZ)，且当 x(0,1)时，f(x)2x4x1.(1)求 f(x)在2k1,2k1(kZ)上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数；(3)当 m 取何值时，方程 f(x)m 在(0,1)上有解？Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析(1)利用函数f(x)为奇函数可求出f(x)在(1,0)上的解析式，然后利用周期性求得f(1)和f(1)的值，从而求得f(x)在1,1上的解析式，进而求得f(x)在 2k1,2k1上的解析式；(2)需利用定义证明；(3)方程f(x
11、)m在(0,1)上有解，等价于m的取值范围为f(x)在(0,1)上的解集Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)当 x(1,0)时，f(x)f(x)2x4x1 2x4x1.f(x)f(x)，f(0)f(0)，f(0)0.又 f(1)f(1)，f(1)f(12)f(1)，f(1)0，f(1)0.f(x)2x4x1 x(1，0)2x4x1x(0，1)0 x0，1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 故 f(x)f(x2k)(kZ)2x2k4x2k1 x(2k1，2k)2x2k4x2k1x(2k，2k1)0 x2k1或2k.Copyright 20
12、04-2009 版权所有 盗版必究 证明：(2)设 x1，x2(0,1)且 x10,2x12x22x1x21，f(x1)f(x2)，即 f(x)在(0,1)上为减函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)方程 f(x)m，即 m 2x4x1.由(2)可知函数 f(x)2x4x1在(0,1)上为减函数，f(1)f(x)f(0)，即 f(x)在(0,1)上的值域为(25，12)m 的取值范围为(25，12)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 指数函数的性质是高考的必考内容之一，其中指数函数的单调性是命题的热点指数函数的单调性取决于底数与“
13、1”的大小关系，即0a1时，指数函数为增函数利用单调性可以解决有关的大小比较问题，进而可解指数方程和不等式问题，解指数方程和不等式的基本方法是“同底法”，即将不等式和方程的两边化为同底的指数式，然后利用指数函数的单调性脱去幂的形式，得出自变量的不等关系(或相等关系)，从而把问题转化为熟悉的不等式(或方程)来解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例题4中第(3)问改为当为何值时，关于x的方程f(x)在x1,1上有实数解？Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：由例题第(2)问知，f(x)在(0,1)上为减函数，函数 f(x)在(0,1)上的值域为
14、(25，12)又f(x)为奇函数，f(x)在(1,0)上的值域为(12，25)又f(0)f(1)f(1)0，函数 f(x)在1,1上的值域为(12，25)(25，12)0当|1225或250且a1.指数函数的外形只能是yax，像ykax(k0，k1)、yaxb(b0)等都不是指数函数，但它们可以由yax的图象通过适当变换得到Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2底数与指数函数的图象相对位置关系 由指数函数yax与直线x1相交于点(1，a)可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变到大图4Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由指数函数 yax
15、与直线 x1 相交于点(1，1a)可知，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变到小如 图 4 所 示 的 指 数 函 数 的 底 数 的 大 小 关 系 为0a4a31a2a1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3指数函数题型的解题方法及一般规律 指数函数yax的单调性与底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 比较两个指数幂的大小时，尽量化同底或同指，当底数相同、指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同、底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小 解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数与1的大小不确定时，注意分类讨论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究