1、吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学第七次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题：1.设，则复数的实部和虚部之和为（ ）A. 3B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法可得，从而可得其实部和虚部之和.【详解】，故其实部为，虚部为，两者的和为，故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法以及复数的虚部和实部，注意复数的虚部为，本题属于基础题.2.设集合则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】Ay|y2x，xRy|y0Bx|x210x|1x0x|1x1，故选C3.2019年是中华人民共和国成立70周年，党中央、中央军委决定组织首都天安门阅兵，这是国家重大纪念日阅兵的制度化安排参
2、加受阅的徒步方队队员应身体健康、体型协调、反应敏捷通常男性士兵的身高普遍在175cm至185cm之间，女性士兵的身高在163cm至175cm之间某连队现有男性士兵120人，则根据男性士兵的身高得到的频率分布直方图如图若，成等差数列，且，则该连队男性士兵的身高符合国庆阅兵标准的人数为（ ）A. 48B. 54C. 60D. 66【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和概率的性质列式可解得，再用身高在175cm至185cm之间的概率乘以样本容量可得结果.【详解】依题意可得，解得，所以男性士兵的身高在175cm至185cm之间的人数为人，即该连队男性士兵的身高符合国庆阅兵标准的人数为66人.故选：D
3、.【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了概率的性质，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.4.已知：，：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】算出对应的集合，再求出对应的集合，最后根据、对应集合的包含关系可得两者之间的条件关系.【详解】：等价于或.故：.又：等价于.因为为的真子集，故是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要
4、条件， 对的集合与对应集合互不包含5.在中，内角，的对边分别为，若，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，再利用两角和的正弦计算即可.详解】由正弦定理可得，故，故，若为锐角，则，故.若为钝角，则，故.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，一般地，知道三角形中的两边及一边所对的角，则可以用正弦定理求出另外两个角，注意对角分类讨论，本题属于中档题.6.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题结合上述观点，可得方程的解为（ ）A. B.
5、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得，其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取求得值即可【详解】由，得，其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，由题得，解之得.所以平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是联立，解得故选：C【点睛】本题主要利用考查双曲线的定义求方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.设，满足，向量，则满足的实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得，
6、根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点C时，从而得到的最小值即可【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为，由得，当直线经过点C时，m有最小值，由，得，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解8.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据时，可得正确的选项.【详解】的定义域为.因为，所以偶函数，故排除D
7、.当时，有，故，而，故，从而排除B、C.故选：A.【点睛】本题考查函数图象识别，一般地，要结合函数的奇偶性、单调性、特殊点处的函数值的正负来判断，本题属于基础题.9.函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，则函数的一个递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，求得，再求的递增区间，对赋值，求得答案.【详解】的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为，又其图象关系直线对称，得，又，得，得，令，得，令，得，即函数的一个递增区间是.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换，对称性和单调性，属于中档题.1
8、0.“开车不喝酒，喝酒不开车”近日，公安部交通管理局下发关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数据：，）车辆驾驶人员血液酒精含量阔值驾驶行为类别阈值（）饮酒后驾车，醉酒后驾车A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】先根据散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量
9、阈值大于20，故根据的解可得正确的选项.【详解】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，故，所以，故选：B.【点睛】本题考查指分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属于基础题.11.已知经过原点的直线与椭圆相交于，两点（在第二象限），分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线平分线段，且，则该椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，又，则，再根据过的中点，得到的又一关系式，解出，求得椭圆的方程.【详解】设，又，则，又的中点，又过的中点，得，得，得，解得得，则椭圆的方程为.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆
10、的几何性质，根据关系求基本量，属于中档题.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数解析式，作出函数图像，根据方程有四个不同的解，且，求出与，化简所求式子，构造函数，再根据的范围，用导数的方法研究新函数的单调性，即可得出结果.【详解】作出函数的图像如下：因为方程有四个不同的解，且，所以有，故，再由可得或，即，令，()，则，因为，所以，即函数在上单调递减，又，所以.即的取值范围是故选A【点睛】本题主要考查根据方程根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.二、填空题：13.
11、已知，则_【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式求得，利用诱导公式求得结果.【详解】 又 本题正确结果：【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题.14.已知曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】先利用导数的几何意义求出点的横坐标，再求出点的纵坐标.【详解】由题得切线的斜率为，所以.由题得，所以，所以，所以点的坐标为.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.中国古代有一块著名的“传国玉玺”，印文为“受命于天既寿永昌”，是中国历代正统皇帝的信物相传西汉末年王莽篡汉，进宫索要玉玺，太后怒而掷之，破其一角，王
12、莽令工匠以黄金补之现有人想利用“3D打印”技术还原“传国玉玺”，做的模型图如图已知黄金的比重是（20），若使用黄金（约）50g修补破损的一角（假设破损部分为圆锥体），则该部分底面半径约为_（结果保留小数点后一位）（注：，）【答案】(cm)【解析】【分析】利用密度和质量算出破损部分的体积后可得底面半径满足的方程，求出其解后可得所求的半径.【详解】破损部分的体积为，设底面半径为，所以，故（cm).故答案为：(cm).【点睛】本题考查圆锥的体积，注意根据给出的近似计算值合理计算近似值，本题属于基础题.16.定义两条曲线的“正交点”：曲线与曲线交于点，且在处的切线互相垂直下列各组曲线存在“正交点”的是
13、_（填序号）与；与，；与，【答案】【解析】【分析】分别对各选项利用导数研究函数的切线，即可得解；【详解】解：联立得方程组解得或或，设，则，当时，此时两切线不垂直，当时，此时两切线不垂直，当时，此时两切线不垂直，综上与不存在“正交点”；与，所以，因为直线的斜率为，所以解得，故切点坐标为，又因为，所以点不在直线上，故不存在“正交点”与，假设两曲线存在“正交点”，如图设为正交点，直线为圆的切线，直线为抛物线的切线，由题意，得直线需过原点，对求导，得，所以，解得（负值舍去），所以，将点坐标代入，得，因为方程在上有解，所以两曲线存在“正交点”；故答案为：【点睛】本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运
14、算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：（一）必考题：17.已知正项数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求得，根据可得，根据等差数列的通项公式可求的通项公式.（2）利用裂项相消法可求.【详解】（1）令，则，结合可得.又，故，整理得到，因为，故，故为首项为1，公差为1的等差数列，故即.（2）由（1）得，故，所以即.【点睛】本题考查数列通项的求法以及数列前项和的求法，一般地，数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差
15、数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组频数10304020配方的频数分布表指标值分组频数510153040（1）从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再
16、从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率与质量指标满足如下条件：，其中，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?【答案】（1）（2）配方生产的产品平均利润率为，配方生产的产品平均利润率为，投资配方的产品平均利润率较大【解析】【分析】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，有3件为一级品，记为，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将与用表示，计算出的值，由可得哪种配方的产品平均利润率较大.【详解】解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二
17、级品，记为，有3件为一级品，记为，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：，其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为.（2）由题知配方生产的产品平均利润率，配方生产的产品平均利润率，所以，因为，所以，所以投资配方的产品平均利润率较大.【点睛】本题主要考查概率的求法，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面的对角线互相垂直，且，平面（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，点在上，且，求点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）首先证明结合底面的对角线互相垂直，可得为的中点.利用三角形的中位线以及直线
18、平行平面的判定定理可得.（2）通过建立空间坐标系，点到平面的距离公式可得.【详解】（1）平面,且 平面， 平面 又， 为公共边，所以,且底面的对角线互相垂直，所以为的中点.因为为的中点，连接,平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，中， .以为原点，以为 轴，以为 轴，过做直线平行于,以此直线为轴建立空间直角坐标系. 设平面 的法向量为 ,由所以点到平面的距离为【点睛】本题考查直线平行平面的判定定理，线面垂直的性质定理，空间向量法求点面距，属于中档题.20.已知抛物线的焦点到直线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围【答案】
19、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得的值，即得抛物线的方程；（2）设，直线，.将直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得.求出点到直线的距离，根据弦长公式求出，故的面积，可求面积的取值范围【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 焦点到直线的距离为，.抛物线的方程为 （2）由题意可设，直线，将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得直线与抛物线相交于两点，设，则.是线段的中点，代入，解得又，或 直线的方程为.点到直线的距离，又， 令，则或，即面积的取值范围为 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻
20、辑推理能力和运算求解能力，属于较难的题目21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求得的定义域为，且，令，则，若，则的根为，还需考虑根与0的大小，故分，讨论，得到函数的单调性；（2）令，求出，分和讨论，利用导数判断的最小值是否恒小于等于零，得到答案.【详解】（1）由题的定义域为，且，令，则，当时，则，在上递减；当时，则，则当或时，即，当时，即则在，递减，在递增.当时，则，则当时，则，当时，则，则在递增，在递减.综上可得，当时，在上递减；当时，则在，递减，在递增；当时，则在递增，在递减.（2）令，则，当时，则在上递减，则，
21、即对恒成立.当时，则当时，当时，即在递增，递减，则，即存在，使成立.综上可得，若对恒成立，则.【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，不等式恒成立求参数的范围，考查了学生分析推理能力，运算能力，难度较大.（二）选考题：22.已知在平面直角坐标系中，曲线（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知，曲线，相交于A，B两点,试求点M到弦AB中点N的距离.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）消去参数得到，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）根据直线过圆心得到，计算得到答案.【详解】（1
22、）曲线（t为参数），消去参数t，得，其极坐标方程为，即.，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由题意及（1）知直线过圆的圆心，则点N的坐标为，又，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.23.设函数（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当，时，若存在，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）就、分类求解后结合已知的解集可得的值；（2）利用绝对值不等式求得最小值为，解不等式后可得，最后利用综合法和分析法可证.【详解】（1）即为，所以.若，的解集不可能为，舍.当时，的解为，所以，解得.当时，解为，所以，解得.综上，或.（2）当，时，当且仅当时等号成立，故即，故，所以.故.因为，故，所以即.要证：，即证：，即证：，也就是即证：，即证：，也就是即证：，因为恒成立，故必成立，故.综上，.【点睛】本题考查绝对值不等式的解、绝对值不等式的应用，还考查了不等式能成立问题和不等式的证明，其中能成立问题可转化为函数的最值来讨论，不等式的证明应根据题设条件和要证明的结论之间的次数关系采用合适的证明方法，本题综合性较强.