1、北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A B C D 【答案】A2若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y) =0(或y=f(x)的“自公切线”下列方程：x2y2 =1;y= x2|x|；y=3 sinx+4cosx；|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )ABCD【答案】C3已知ba，下列值
2、：，|的大小关系为 A|B|C= |=D= |【答案】B4设aR，函数f(x)exaex的导函数f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )A Bln2 C Dln2【答案】D5函数满足，其导函数的图象如下图，则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )ABC2D【答案】B6设函数是定义在的非负可导的函数，且满足，对任意的正数，若，则必有( )A B C D 【答案】A7( )A B C D 【答案】D8已知，则的最大值是( )ABCD【答案】B9将函数y=2cosx(0x2)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是( )A
3、4B8C 2D 4【答案】D10设函数f（x）ax2b（a0），若f（x）dx3f（x0），则x0( )A1B C D2【答案】C11如下图，阴影部分面积为 (）ABCD【答案】B12已知函数，若函数的图像上点P（1，m）处的切线方程为，则m的值为( )A B CD【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知函数方程在区间上实数解的个数是 ；【答案】14= .【答案】15求曲线与轴所围成的图形的面积为 【答案】16由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是 ；【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，
4、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知函数在点处的切线方程为求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围【答案】根据题意，得即解得所以令，即得因为，所以当时，则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为4因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的斜率为则=，即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或则 ，即，解得18已知某工厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少
5、件产品？【答案】（1）设平均成本为元，则，令得当在附近左侧时；因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品(2）利润函数为，令，得，因此，要使利润最大，应生产6000件产品19定义函数(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程；(2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；(3)当，且时，证明【答案】（1）， 由，得 又，由，得，又，切点为 存在与直线垂直的切线，其方程为，即 (2）由，得 由，得 在上有解在上有解得在上有解， 而，当且仅当时取等号， (3）证明： 令，则， 当时，单调递减，当时， 又当时， 当且时，即20计算下列定积分的值(1
6、）；（2）；(3）；（4）【答案】（1） (2） (3） (4）21计算下列定积分(1） (2）【答案】(1) (2)22某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2a5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35x41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。 (1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。【答案】（1）设日销售量为则日利润(2）当2a4时，33a+3135，当35 x41时，当x=35时，L（x）取最大值为当4a5时，35a+3136，易知当x=a+31时，L（x）取最大值为综合上得