1、2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学仿真模拟卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数za2i2ai0(其中aR，i为虚数单位)为正实数，则实数a值为()A0 B1C1D1Cza2i2ai2ai为正实数，2a0且a210，解得a1.故选C2已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则()AABx|x1DABA集合Bx|3x1，B，集合Ax|x1，AB，AB，故选A3已知m(0，1)，令alogm2，bm2，c2m，那么a，b，c之间的大小关系为()Abca Bbac Cabc Dca
2、bCm(0，1)，alogm21，即abkl”是“apaqakal”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件D设等差数列的公差为d，apaqakala1(p1)da1(q1)da1(k1)da1(l1)dd(pq)(kl)0 或，显然由pqkl不一定能推出apaqakal，由apaqakal也不一定能推出 pqkl，因此pqkl是apaqakal的既不充分也不必要条件，故本题选D7紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面
3、的平面截去一个锥体得到的)下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为()A100 cm3B200 cm3C300 cm3D400 cm3B设大圆锥的高为h，所以，解得h10.故V5210326200 cm3.8已知定义在R上的偶函数f 满足f f ，且当0x1时，f 1x2.若直线yxa与曲线yf 恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为()A(kZ)B(kZ)C(kZ)D(kZ)B定义在R上的偶函数f 满足f f ，所以f 的图象关于x1对称，且f 为周期是2的偶函数，当1x1时，f 1x2，所以画出函数图象如图所示：当a1时，结合图象可知yxa与f 1x2(x)有两个
4、公共点；当yxa与f 1x2(x)相切时，满足xa1x2，即x2xa10，令140，解得a.当a时，结合图象可知yxa与yf (xR)有两个公共点；由图象可知， a时，直线yxa与yf (xR)有三个公共点；又因为f 周期T2，可知a(kZ)故选B二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9已知点P为ABC所在平面内一点，且230，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是()A向量与可能平行B向量与可能垂直C点P在线段EF上DPEPF12BC根据题意，E为AC的中点，F为BC的中点，结合
5、平面向量的线性运算可知，代入230可得2，则点P在线段EF上，且PEPF21，所以C正确D错误而由平面向量线性运算可知，向量与不可能平行，但可能垂直，所以A错误B正确由以上可知，正确的为BC故选BC10设函数f sin， 已知f 在有且仅有5个零点下述四个结论中正确的是()Af 在有且仅有3个最大值点Bf 在有且仅有2个最小值点Cf 在单调递增D的取值范围是ACD由于0，f (0)sinsin0，而f 在有且仅有5个零点，所以526，解得，D正确；因此只有满足x，的x是f (x)在(0，2)上的最大值点，共3个，A正确；满足x，的x显然是f (x)在(0，2)上的最小值点，但当接近时，x6，也
6、是一个最小值点，这时有3个最小值点，B错；当x(0，)时，由(2)，所以f (x)是递增的，C正确故选ACD11如果对于函数f 定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f f ，且存在两个不相等的自变量值y1，y2，使得f f ，就称f 为定义域上的“不严格的增函数”下列所给的四个函数中为“不严格增函数”的是()Af Bf Cf Df AC由已知可知函数f 定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1f ，故不是不严格的增函数；Cf ，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；Df ，当x1，x2，f f ，故不是不严格的增函数，故四个函数中为不严格的增函数的是AC故选AC1
7、2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点P为侧面BCC1B1上的一动点，则下列结论正确的是()A若点P总保持PABD，则动点P的轨迹是一条线段B若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧C若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线D若P到直线BC与直线C1D1的距离比为12，则动点P的轨迹是一段双曲线ABD对于A，BD1AC，BD1AB1，且ACAB1A，所以BD1平面AB1C，平面AB1C平面BCC1B1B1C，故动点P的轨迹为线段B1C，所以A正确；对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面BCC1B1的交线，即为一段圆弧，所以B正确；对于C，
8、作PEBC，EFAD，连接PF，作PQCC1.由，在面BCC1B1内，以C为原点、以直线CB、CD、CC1为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如图所示：设P，则，化简得x2z21，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误；对于D，由题意可知点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离之比为21，结合C中所建立空间直角坐标系，可得，所以 ，代入可得，化简可得1，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确综上可知，正确的为ABD故选ABD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13(3x31)的展开式中常数项为_33(x2)6展开式通项为TC(x2)6r(1)rCx123r，令123r0得r4，它的常数项
9、是(1)4C15，令123r3得r5，它的x3项系数为：(1)5C6；故(3x31)展开式中常数项为：3(6)(1)1533.14我国古代数学名著九章算术记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a2b2c2(a，b，cN*)，把a，b，c叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，以此类推，可猜测第6组勾股数的第二个数是_84先找出所给勾股数的规律：以上各组数均满足a2b2c2，最小的数a为奇数；其余两个数是连续的正整数；最小奇数的平方是另两个连续整数的和如32945；52251213；72492425；92814041，依次类推，第六组
10、的奇数为13，则132x22，解得x84.15在ABC中，ABAC，点D在边AC上，且CD2DA，BD4，则ABC的面积最大值为_9设ADx，则ABAC3x，在ABD中，由余弦定理得9x2x26x2cosA16，解得cosA，则由同角三角函数关系式可知sinA，则由三角形面积公式可得SABC3x3xsinA9x2，所以当x时，max9.16双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知点F2为抛物线C：y214x的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足F1PF260.则(1)双曲线的标准方程为_；(2)PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为_(本题
11、第一空2分，第二空3分)(1)1(2)F2到其双曲线的渐近线的距离为b，而抛物线y214x的焦点F2，a2c2b26，则双曲线的标准方程为1；设点P在双曲线的右支上，x，则x5，则由余弦定理可得49x22x，解得x3，x8(舍去)，设F1PF2的内切圆和外接圆的半径分别为r，R，S386r，解得r，而由正弦定理可得R，所以.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设Sn为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且a1b11，a42b3.在a2b2，b6243，S44S2这三个条件中任选一个，回答下列为题：(1)求数列和的通项公式；(2)如果
12、ambn(m，nN*)，写出m，n的关系式mf ，并求f f f f .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)若选：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q(q0)，则 ，解得 或 (舍)，则an2n1，bn3n1.若选：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q(q0)，则由q5得q3，bn3n1，又a42b3，13d29，d2，an2n1.若选：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q(q0)，则 ，解得 或 (舍)，则an2n1，bn3n1.(2)ambn，2m13n1，即m，f f f .18(本小题满分12分)在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
13、(ac)(sinAsinC)b(sinAsin B)(1)求角C的大小；(2)若c且bc，求ba的取值范围解(1)(ac)(sin Asin C)b(sin Asin B)，由正弦定理，(ac)(ac)b(ab)，即a2c2abb2由余弦定理，cos C，又C(0，) ，C.(2)因为c且bc，由正弦定理得2，b2sin B，a2sin A，BA，AB，bc，BC，B，ba2sin Bsin A2sin Bsinsin Bcos Bsin(B)，B，sin1，ba.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，CDAD，ADCD2BC2，平面PAD平面A
14、BCD，PAPD，PAPD(1)求证：CDPA；(2)求二面角CPAD余弦值解(1)证明：在四棱锥PABCD中，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又因为CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，因为PA平面PAD，所以CDPA(2)取AD中点O，连接OP，OB，因为PAPD，所以POAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，因为PO平面PAD，所以PO平面ABCD，所以POOA，POOB因为CDAD，BCAD，AD2BC，所以BCOD，BCOD，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBAD如图建立空间直角坐标系Oxyz，则O，A，B，C，D，P.，
15、.设平面PAC的法向量为n，则 即 令x1，则y1，z1，所以n.因为平面PAD的法向量，所以cosn，由图可知二面角CPAD为锐二面角，所以二面角CPAD的余弦值为.20(本小题满分12分)某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞我们都是追梦人”摄影图片展通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70岁的生日献了一份厚礼摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：(1)求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)由频率分布直方图可以
16、认为，作者年龄X服从正态分布N，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P；附：13.4，若XN，则P0.682 6，P0.954 4，P0.997 4.(ii)摄影协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望解(1)这100位作者年龄的样本平均数和样本方差s2分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560，s220.0520.120.1500.351020.22020.15180.(2)(i)由
17、(1)知，XN，从而PP(6013.4X0，b0)交于不同的两点A，B，O为坐标原点(1)若k1，求证：曲线C是一个圆；(2)若曲线C过，是否存在一定点Q，使得为定值？若存在，求出定点Q和定值；若不存在，请说明理由解(1)证明：设直线l与曲线C的交点为A，B，即xyxy，xxyy，A，B在曲线C上，1，1，两式相减得xx，1，即a2b2，所以x2y2a2，曲线C是一个圆(2)由题意知，椭圆C的方程为x21，假设存在点Q ，设交点为A，B，由 得，x22kx30，x1x2，x1x2，直线l：ykx1恒过椭圆内定点，故0恒成立x1x2x0x(kx11y0)(kx21y0)x1x2x(1y0)2x(1y0)2x2x2.当 时，即x00，y0时，故存在定点，不论k为何值，为定值22(本小题满分12分)已知函数f x2ex.(1)求f 的单调区间；(2)过点P存在几条直线与曲线yf 相切，并说明理由；(3)若f k对任意xR恒成立，求实数k的取值范围解(1)f exxex，f 0得，x0；f 0得，2x0，所以显然x2ex0对任意xR恒成立；kkk不成立，所以k0时，x1时，gx2exk0显然成立，只需考虑x1时情况转化为k对任意x恒成立令h(x1)，则khmin，h，当1x时，h时，h0，h单调增；所以hminhe，所以ke.综上所述，k的取值范围.
