1、阶段质量检测（三） 直线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知直线l的方程为yx1，则直线l的倾斜角为()A30B45C60 D135解析：选D由题意可知，直线l的斜率为1，故由tan 1351，可知直线l的倾斜角为135.2已知过点M(2，a)，N(a,4)的直线的斜率为，则|MN|()A10 B180C6 D6解析：选D由kMN，解得a10，即M(2,10)，N(10,4)，所以|MN|6，故选D.3已知直线nxyn1和直线nyx2n的交点在第二象限，则实数n的取值范围是()A(0,1) B.(1，)C. D.解析：选C由题意，知
2、当n1时，两直线平行，当n1时，两直线重合，故n1.解方程组得x，y.0且0，解得0n.4已知直线l1：(2m25m2)x(m24)y50的斜率与直线l2：xy10的斜率相同，则实数m等于()A2或3 B2C3 D3解析：选C直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则1，即2m25m2m24，整理得m25m60，解得m2或3.当m2时，2m25m20，(m24)0，不符合题意，故m3.5若直线(m21)xy2m10不经过第一象限，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D若直线(m21)xy2m10不经过第一象限，则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率
3、和截距均小于等于0.直线方程变形为y(m21)x2m1，则解得m1.6已知直线mxny10平行于直线4x3y50，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为()A4和3 B4和3C4和3 D4和3解析：选C由题意知：，即3m4n，且有，n3，m4.7两点A(a2，b2)和B(ba，b)关于直线4x3y11对称，则a，b的值为()Aa1，b2 Ba4，b2Ca2，b4 Da4，b2解析：选DA、B关于直线4x3y11对称，则kAB，即，且AB中点在已知直线上，代入得2(b2)311，解组成的方程组得8直线l1与直线l2：3x2y120的交点在x轴上，且l1l2，则直线l1在y轴上的截距是()A4 B
4、4C D.解析：选C设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2.l1l2，k1k21，k1.设直线l1的方程为yxb，直线l2与x轴的交点为(4,0)将点(4,0)代入l1方程，得b.9光线从点A(3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为()A5 B2 C5 D10解析：选C点A(3,5)关于x轴的对称点为A(3，5)，则光线从A到B的路程即AB的长，|AB|5.10数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的
5、距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点B(1,0)，C(0,2)，ABAC，则ABC的欧拉线方程为()A2x4y30 B2x4y30C4x2y30 D2x4y30解析：选D本题考查欧拉线方程，B(1,0)，C(0,2)，线段BC中点的坐标为，线段BC所在直线的斜率kBC2，则线段BC的垂直平分线的方程为y1，即2x4y30.ABAC，ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，ABC的欧拉线方程为2x4y30.故选D.11已知点M(1,0)和N(1,0)，直线2xyb与线段MN相交，则b的取值范围为()A2,2 B1,1C. D0,2解析：选A直
6、线可化成y2xb，当直线过点M时，可得b2；当直线过点N时，可得b2，所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为2,212若直线l1：y2(k1)x和直线l2关于直线yx1对称，那么直线l2恒过定点()A(2,0) B(1，1) C(1,1) D(2,0)解析：选Cl1：kxxy2，由得l1恒过定点(0,2)，记为点P，与l1关于直线yx1对称的直线l2也必恒过一定点，记为点Q，且点P和Q也关于直线yx1对称令Q(m，n)，则即Q(1,1)，直线l2恒过定点(1,1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知点A(2,1)，B(2,3)，C(0,1)，则ABC中，BC边上的中线
7、长为_解析：BC中点为(1,2)，所以BC边上中线长为.答案：14直线l与直线y1，xy70分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，1)，则直线l的斜率为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，又y11，y23，代入方程xy70，得x24，即B(4，3)，又1，x12，即A(2,1)，kAB.答案：15已知点M(a，b)在直线3x4y15上，则 的最小值为_解析：的最小值为原点到直线3x4y15的距离：d3.答案：316在ABC中，已知C(2,5)，角A的平分线所在的直线方程是yx，BC边上的高所在的直线方程是y2x1，则顶点B的坐标为_解析：依题意，由解得则A(1,1)因为角
8、A的平分线所在的直线方程是yx，所以点C(2,5)关于直线yx的对称点C(5,2)在边AB所在的直线上，所以边AB所在的直线方程为y1(x1)，整理得x4y30.又边BC上的高所在的直线方程是y2x1，所以边BC所在的直线的斜率为，所以边BC所在的直线方程是y5(x2)，整理得x2y120.由解得则B.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知直线l经过点P(2,1)，且与直线xy0垂直(1)求直线l的方程；(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程解：(1)由题意得直线l的斜率为1，故直线l的方程为y1
9、x2，即xy30.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为xyc0，由点到直线的距离公式得，即|c3|2，解得c1或c5.故直线m的方程为xy10或xy50.18(本小题满分12分)已知两条直线l1：xm2y60，l2：(m2)x3my2m0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解：当m0时，l1：x60，l2：x0，l1l2.当m2时，l1：x4y60，l2：3y20，l1与l2相交当m0且m2时，由得m1或m3，由，得m3.故(1)当m1且m3且m0时，l1与l2相交(2)当m1或m0时，l1l2.(3)当m3时，l1与l2重合19(本小题满分12分)等腰直角
10、三角形斜边所在直线的方程是3xy0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标解：设直角顶点为C，点C到直线y3x的距离为d，则d2d10，d.直线l的斜率为，且经过点(4，2)，直线l的方程为y2(x4)即x2y80.设直线l是与直线y3x平行且距离为的直线，则直线l与l的交点就是C点，设直线l的方程是3xym0，m10，直线l的方程是3xy100.由方程组或得点C的坐标是或.20(本小题满分12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x2y20上(1)求AB边上的高CE所在直
11、线的方程；(2)求ABC的面积解：(1)由题意可知，E为AB的中点，E(3,2)，且kCE1，CE所在直线方程为：y2x3，即xy10.(2)由得C(4,3)，|AC|BC|2，ACBC，SABC|AC|BC|2.21(本小题满分12分)已知三条直线l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由解：(1)直线l2的方程等价于2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距
12、离d，即.又因为a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若点P满足条件，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，解得c或，所以2x0y00或2x0y00.若P点满足条件，由点到直线的距离公式，得，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020.若点P满足条件，则3x020不合适解方程组得不符合点P在第一象限，舍去解方程组得符合条件.所以存在点P同时满足三个条件22(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上(1)若折痕所在
13、直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(2)当2k0时，求折痕长的最大值解：(1)当k0时，A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y.当k0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk1k1ak.故G点坐标为(k,1)，从而折痕所在直线与OG的交点坐标(即线段OG的中点)为M.故折痕所在的直线方程为yk，即ykx.由得折痕所在的直线方程为ykx.(2)当k0时，折痕的长为2.当2k0时，折痕所在直线交直线BC于点E，交y轴于点N.则|NE|222 244k244(74)3216.此时，折痕长度的最大值为2()而2()2，故折痕长度的最大值为2()