1、7.1.2复数的几何意义学 习 任 务核 心 素 养1可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系(重点、难点)2掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念(易混点)3掌握用向量的模来表示复数的模的方法(重点)1通过复数的几何意义，体会直观想象的素养2借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础问题：实数可用数轴上
2、的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？知识点1复数的几何意义1复平面(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：复数zabi复平面内的点Z(a，b)；(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：复数zabi平面向量实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？提示不正确实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复
3、数是z00i0，表示的是实数1复数z35i在复平面内对应的点的坐标是()A(3，5)B(3,5)C(3，5i) D(3,5i)A复数z35i在复平面内对应的点的坐标是(3，5)2若(0，3)，则对应的复数()A等于0B等于3C在虚轴上D既不在实轴上，也不在虚轴上C向量对应的复数为3i，在虚轴上知识点2复数的模1定义：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模或绝对值，记作|z|或|abi|(a，bR)2求法：|z|abi|，其中a，bR3模的几何意义：复数z的模就是复数zabi(a，bR)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)复数的模一定是正实
4、数()(2)两个复数相等，它们的模一定相等，反之也成立()答案(1)(2)4已知复数z12i(i是虚数单位)，则|z|_z12i，|z|知识点3共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z的共轭复数用 表示，即如果zabi，那么abi5复数z32i的共轭复数_，|_32iz32i的共轭复数32i，| 类型1复数与复平面内的点的关系【例1】求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方解(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a3
5、(2)点Z在x轴上方，则解得a5或a3即当a5或a3时，点Z在x轴上方1本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值解点Z在x轴上，所以a22a150且a30，所以a5故a5时，点Z在x轴上2本例中条件不变，如果点Z在直线xy70上，求实数a的值解因为点Z在直线xy70上，所以a22a1570，即a32a215a300，所以(a2)(a215)0，故a2或a所以a2或a时，点Z在直线xy70上利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系1若关于实数x的不等式mx2nxp0(m，n，pR)的解
6、集为(1,2)，则复数mpi在复平面内所对应的点位于第_象限二因为mx2nxp0(m，n，pR)的解集为(1,2)，所以所以m0，p0，故复数mpi在复平面内所对应的点位于第二象限 类型2复数与复平面内向量的对应【例2】(对接教材P71例2)在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为14i，3i,2，O为复平面的坐标原点(1)求向量和对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数解(1)由已知得，所对应的复数分别为14i，3i,2，则(1,4)，(0，3)，(2,0)，因此(1,1)，(1，4)，故对应的复数为1i，对应的复数为14i(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4
7、)，(0，3)，(2,0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，若设D(x0，y0)，则有解得故D(3,7)即顶点D对应的复数为37i法二：由已知得(1,4)，(0，3)，(2,0)，所以(1,7)，(2,3)，由平行四边形的性质得(3,10)，所以(3,7)，于是D(3,7)即顶点D对应的复数为37i复数与向量的对应和转化对应：复数z与向量是一一对应关系转化：复数的有关问题转化为向量问题求解解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理2(1)在复平面内，O为原点，向量
8、表示的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量表示的复数为()A2iB12iC2iD12i(2)在复平面内，把复数3i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()A2 B2i C3i D3i(1)C(2)B(1)由题意得A(1,2)，则B(2,1)，所以向量表示的复数为2i(2)复数3i对应的向量的坐标为(3，)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，2)，所得向量对应的复数为2i 类型3复数的模及其应用【例3】(1)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1 B C D2(2)若复数z满足z|z|28i，则复数z_1设复数zxyi(x，yR)，则|z|
9、等于多少？其几何意义是什么？提示|z|，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0,0)的距离2复数z满足|zi|1，其几何意义是什么？提示由|zi|1可知点z到点(0,1)的距离为1(1)B(2)158i(1)因为x，yR，(1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，故选B(2)设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i，解得z158i1复数zabi模的计算：|z|2复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离3转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想3若复数z(a2a6)i是实数，则z1(a1)(12a
10、)i的模为_z为实数，a2a60，a2或3a2时，z无意义，a3，z125i，|z1|4已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解法一：z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)法二：利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知：a1若复数z2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限C复数z的共轭复数2i，在复平面内对应的点为(2，1)，位于第三象限2设O为原点，向量，对应的复
11、数分别为23i，32i，那么向量对应的复数为()A1i B1iC55i D55iD由题意知，(2,3)，(3，2)，(5,5)，向量对应的复数为55i，故选D3已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为()A1或3B1C3D2A依题意可得2，解得m1或3，故选A4i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_23iz123i，z1对应的点为(2，3)，关于原点的对称点为(2,3)z223i5如果复数z(m2m1)(4m28m3)i(mR)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为_因为z(m2m1)(4m28m3)i对应的点在第一象限，所以解得m或m，即实数m的取值范围是m或m回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)复平面的概念是什么？(2)复数与复平面内的点有什么关系？(3)复数与复平面内的向量有什么关系？(4)如何求复数的模？