1、1.2.2 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系22sin cos 1 sin tancos 1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2+cos2=1也成立.()(2)对任意角，都成立.()(3)在利用平方关系求sin 或cos 时，会得到正负两个值.()sin 2tan 2cos 22.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知且角在第四象限，则sin=_.(2)化简的结果是_.(3)已知则tan=_.1cos 2，21 sin 5sin 2cos 5,3sin 5cos 【解析】(1)错误.必须是对同一个角.(2)错误.没意义，故 不成
2、立.(3)错误.其正负号由角所在的象限决定.答案：(1)(2)(3)k,kZ,2k,kZ22 当即时，tan 2sin 2tan 2cos 2【解析】(1)由于 且角在第四象限，所以 答案：(2)因为 所以 所以 答案：(3)由 得 解得 答案：1cos 2，213sin 1().22 32052，cos 0.5 221 sin coscos.555cos 5sin 2cos 53sin 5cos tan 25,3tan 5 23tan.16 2316【要点探究】知 识 点 同角三角函数的基本关系对同角三角函数基本关系的五点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算
3、规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关，如sin23+cos23=1.(2)sin2是(sin)2的简写，不能写成sin 2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90=不成立.(4)注意公式的变形,如sin2=1-cos2，cos2=1-sin2，sin=cos tan，cos=等.(5)在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定的，不可凭空想象.sin 90cos 90sin tan【微思考】当角的终边与坐标轴重合时，sin2+cos2=1也成立吗?提
4、示：成立.在使函数有意义的前提下，对任意角，sin2+cos2=1都成立.【即时练】1.已知sin-cos 则sin cos 等于()【解析】1.选C.将所给等式两边平方，得 故 54，7999A.B C.D4163232.251 2sin cos 16，9sin cos.322.化简的值为()A.sin B.cos C.1 D.tan【解析】选B.sin cos tan 1sin cos sin cos sin cos cos.sin sin cos tan 11cos cos【题型示范】类型一 利用同角三角函数基本关系求值【典例1】(1)已知并且是第二象限角，那么tan 的值等于()(2)
5、已知计算下列各式的值：sin22sin cos 1.4sin 5，4334A.B C.D.3443.sin cos 2sin cos ，3sin cos 2sin 3cos ；【解题探究】1.题(1)中如何求cos 的值？2.题(2)中怎样将已知和所求联系起来？【探究提示】1.题(1)中可利用平方关系求cos 的值，要注意角所在的象限.2.题(2)中可将已知条件变形，表示出sin 与cos 的关系或求出tan 的值，代入所求从而求解.【自主解答】(1)选A.由于是第二象限角，根据平方关系 易得 所以(2)由 化简，得sin 3cos，所以tan 3.方法一：原式 3cos 5，sin 4tan
6、.cos 3sin cos 2sin cos ，3 3cos cos 8cos 8.2 3cos 3cos 9cos 9 方法二：原式 原式 sin cos 3cos cos sin cos 23cos cos 3tan 13 3 18.2tan 32 339 222sin2sin cos 1sincos 2222tan2tan 32 31311.tan13110 【延伸探究】题(1)中将条件“”改为“”，其他条件不变，则sin,cos 的值各是什么？【解析】由于 所以 又sin2+cos2=1，且是第二象限角，所以 4sin 54tan 5sin 4tan cos 5，4sin cos 5，
7、4 415 41sin,cos.4141 【方法技巧】利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.(2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.【变式训练】已知(1)求tan 的值.(2)求的值【解析】(1)因为sin2cos21，所以 又 所以 所以(2)由(1)知，1sin.3 2 ，222sin2sin cos 3sincos28cos.92 ，2 2cos.3sin 2tan.cos 422222sin2s
8、in cos tan2tan 14 2.3sincos3tan111 【补偿训练】若且A是三角形中的一个角，求的值【解析】因为 所以角A为锐角或钝角 当A为锐角时，所以原式 当A为钝角时，4sin A5，5sin A815cos A74sin A5，23cos A1 sin A5，4585631575；23cos A1 sin A5，所以原式 综上可知，的值为6或45835.3415()75 5sin A815cos A73.4类型二 利用同角三角函数基本关系化简【典例2】(1)化简：_.(2)化简的结果为_1 2sin 4cos 4sin sin 1 sin 1 sin【解题探究】1.题(1
9、)中怎样将“1-2sin 4cos 4”化为完全平方的形式？2.题(2)中如何处理分式结构？【探究提示】1.可将1分解为“sin24+cos24”的形式，从而构造出完全平方的形式.2.对于分式结构可先通分，再利用同角三角函数基本关系进行化简.【自主解答】(1)|sin 4cos 4|.因为 所以由三角函数线易知cos 4sin 4.所以 答案：cos 4sin 4 1 2sin 4cos 422sin 42sin 4cos 4cos 453442，1 2sin 4cos 4cos 4sin 4.(2)答案：2tan2 sin 1 sin sin 1 sin sin sin 1 sin 1 si
10、n 1 sin(1 sin)222222sin2sin2tan.1 sincos【方法技巧】化简三角函数式的一般要求及化简技巧(1)一般要求：函数种类最少；项数最少；函数次数最低；能求值的求值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式.(2)化简技巧：化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=1，以降低函数次数，达到化简的目的.【变式训练】(2014台州高一检测)化简其中是第二象限角.【解题指南】先由角是第
11、二象限角确定出sin，cos 的符号，利用公式sin2+cos2=1对含根号的式子化简，结合sin，cos 的符号可去掉根号，再由 可使式子最简.21tan 1sin，sin tan cos 【解析】因为是第二象限角，所以sin 0,cos 0.故 22211sintan 1tan sinsin22cossin cos sin cos tan|()1.sincos sin cos sin 【补偿训练】化简：【解析】原式 22sin xsin xcos x.sin xcos xtan x1222sin xsin xcos xsin xsin xcos x1cos x222222cos x sin
12、 xcos xsin xsin xcos xsin xcos xsin xcos xsin xcos x.sin xcos x类型三 利用同角三角函数基本关系证明【典例3】(1)求证：(2)求证：2211tan.cos sin 1 cos.1 cos sin【解题探究】1.题(1)中借助哪个式子可把切函数化为弦函数？2.欲证明题(2)中的等式，可以从什么地方着手？【探究提示】1.由切函数到弦函数可通过商数关系来实现.2.欲证明此等式，可从平方关系着手，通过平方差公式分解因式后变形即得证，或通过作差、通分变形后得差为0，即可证明等式.【自主解答】(1)因为=所以原式成立.(2)方法一：sin2
13、cos2 11cos2 sin2 (1cos)(1cos)sin sin 222sin1tan1cos 2222cossin1coscos ，sin 1 cos.1 cos sin 方法二：所以 sin 1 cos 1 cos sin 2sin(1 cos)(1 cos)(1 cos)sin 2222sin(1 cos)sinsin01 cos sin 1 cos sin ，sin 1 cos.1 cos sin【方法技巧】1.简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边.(2)证明左、右两边等于同一个式子.(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.2.证明三角恒等式常用技巧
14、及遵循的原则(1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等.(2)原则：由繁到简,变异为同.【变式训练】已知tan2=2tan2+1，求证：sin2=2sin2-1.【证明】因为tan2=2tan2+1，所以tan2+1=2tan2+2，所以 所以 所以1sin2=2(1sin2)，即sin2=2sin21.2222sinsin12(1)coscos，2212coscos，【补偿训练】求证：2(1-sin)(1+cos)=(1-sin+cos)2.【证明】左边=2(1+cos-sin-sincos)，右边=(1-sin)2+2(1-sin)cos+cos2=1-2sin+sin2+2cos-
15、2sincos+cos2=2(1+cos-sin-sincos).左边=右边，所以原等式成立.【规范解答】同角正、余弦的和、差、积之间的关系问题【典例】(12分)(2014天水高一检测)已知sin+cos=其中0，求sin-cos 的值.13，【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升 失分点1：若没有利用处sin cos 0，则无法判断出 sin,cos 的具体符号，则sin-cos 的符号判断会出 现失误.失分点2：若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关 系求解sin-cos 的值时，可能会出现两个.失分点3：若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前
16、面的符号而出现sin-cos=则本例至 少会扣掉2分.173，【悟题】提措施，导方向 1.充分挖掘解题条件 在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所需要的符号，如本例中由0及sin cos 0,cos 0.2.明确三角函数在每个象限的符号 要明确三角函数在每个象限内的符号，要记准并应用熟练,如 本例中0，可知余弦可能为正，也可能为负，但正弦一 定为正.【类题试解】已知0，sin cos 求sin cos 的值.【解析】因为0，sin cos 所以sin 0，cos 0，所以sin cos 0，所以(sin cos)212sin cos 所以sin cos 60169，600169，602891 2()169169，17.13