1、高考资源网（） 您身边的高考专家扎鲁特旗第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（理）说明：1.本试卷分第卷和第卷两部分；2.请把答案填写到答题纸上；3.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分；第卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用数轴求交集即可得答案.【详解】用数轴表示集合、如图所示，故选：D 【点睛】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.2. 复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由
2、复数的乘法法则计算【详解】故选：A【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题3. 已知，则的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】，则，所以.故选：D.【点睛】本题考查指对数值大小比较.指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较对数函数值大小比较：（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;（3）图象法：根据图象观察得出大小关系4. 1777年，法国科
3、学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.5. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国
4、初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出：十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.1-9这9个数字的纵式与横式的数码表示如图所示，则829可用算筹表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由算筹记数的方法可知：829中8、2、9分别在百位、十位、个位上，即依次用纵式、横式、纵式表示，即可知正确选项【详解】个位、百位、万位数按纵式的数码；十位、千位、十万位的数按横式的数码由题意，知：829可用算筹表示为故选：D【点睛】本题考查了新定义问题，根据题设所描述的算筹记数方法表示一个给定的数，属于简单题6. 已知等差数列满足，则中一定为零
5、的项是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的基本量进行运算【详解】设数列的公差为，则，故选：C【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的通项公式是解题关键7. 已知平面平面，则“直线平面，直线平面”是“直线直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】直线平面，直线平面时，的位置关系是平行、相交、异面均有可能，不充分，反之，若，它们与之间关系根本不可确定，故不必要，应是既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条
6、件的定义是解题基础本题还考查了空间直线、平面间平行的位置关系属于中档题8. 以一个正四面体的棱为面对角线的正方体称为该正四面体的母体，若一个正四面体的体积为，那么该正四面体的母体的内切球的表面积为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出正方体的棱长，正方体的体积减去四个角的三棱锥的体积等于四面体的体积，结合已知条件列出等式得到棱长，再求正方体内切球的表面积.【详解】如图，由题设知四面体为，其母体为正方体，该四面体可以看成是正方体切去了四个角（每个角都是三棱锥，且体积相等）形成，设正方体的棱长为，则正方体的体积为，四个三棱锥的体积为，所以四面体的体积为，得所以，内切球的半径为，
7、球的表面积为.故选：B.【点睛】本题是关于正方体的切割体的体积问题，明确四面体是由正方体切去四个角上的三棱锥形成是关键.9. 在中，内角、所对的边分别是，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，再根据正弦定理，可得，可得，由此即可求出角，进而求出结果.【详解】在中， 所以，所以，由正弦定理可知，又，所以，又，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数值的正负和可排除三个选项，得出正确选项【详解】由函数解析式得，排除C，又，排除A、B，
8、只有D满足故选：D【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，可根据解析式研究函数的性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值趋势排除错误选项，得出正确答案11. 已知双曲线：的渐近线方程为，直线经过双曲线的一个焦点，则（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由渐近线方程得的关系，然后求出焦点坐标（用表示），代入已知直线方程可求得【详解】由题意，焦点坐标为，又一个焦点过直线，故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程，焦点坐标，属于基础题12. 在锐角三角形中，角，所对的边分别为，且，面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用余弦定
9、理和正弦定理化边为角求得，可求得的范围，然后把三角形面积表示为角的函数，由三角函数性质可得【详解】，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又，三角形为锐角三角形，即，由正弦定理得，故选：A【点睛】本题考查三角形面积，考查余弦定理、正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，正切函数的性质，所用公式较多，解题时需根据题意先用恰当的公式运算求解本题属于中档题第卷（非选择题，共90分）二、填空题（每空5分，共20分）13. 已知平面向量与的夹角为，则_.【答案】1【解析】【分析】求出，由数量积定义求出数量积【详解】由题意，故答案为：1【点睛】本题考查平面向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键还考查了模的坐标运算
10、本题属于基础题14. 记是正项等比数列的前项和，若，则公比_.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的求和公式列方程即可求出公比.【详解】，,所以，所以，解得或，由正项等比数列知，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的公比，属于基础题.15. 我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时，_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将代入解方程组可得、值.【详解】【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性
11、质，是解决这类问题的突破口16. 已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为三、解答题（共70分）17. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.【答案】（1）；
12、（2）最小值为，此时的直角坐标为【解析】【分析】（1）根据消去参数，曲线参数方程化为普通方程；曲线极坐标方程展开，代入，即可求出直角坐标方程；（2）设点，的最小值为点到直线距离的最小值，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式，转化为求余弦型函数的最小值，即可求出结论.【详解】（1）由（为参数），得的普通方程为；由，得，即，又由，得曲线；（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，利用圆的参数方程求点到直线距离的最值，考查计算求解能力，属
13、于中档题.18. 在直角坐标系中，曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若点，分别是曲线，上的点（不同于原点），且，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）用消元法可把参数方程化为普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设，把都用表示，求出三角形面积，利用诱导公式、二倍角公式、正弦函数性质可得最大值【详解】解：本题考查圆的极坐标.（1）：消去得到：，：，等式两边同乘可得，将且代入化简得：.（2）设，由曲线，的极坐标方程为可得，且，当即时取得等号.故面积的最大值为.【点睛】本题考查参
14、数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的应用，属于基础题19. 为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；（2）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格.60分以上（含60分）的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列与数学期望；（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近
15、似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五人保留整数）.参考数据：，.【答案】（1）中位数为65；（2）分布列见解析；期望为；（3）.【解析】【分析】（1）由图中的数据可判断中位数在60分到80分之间，若设中位数为，则，从而可求得中位数；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为6人，不合格的人数为4人，则的可能取值为0，1，2，3，4，求出各自的概率，从而可得的分布列与数学期望；（3）由已知求出，从而可得，再利用正态分布的对称性可求得结果【详解】（1
16、）设中位数为，则，解得，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为.由题意可知的可能取值为0，1，2，3，4.则，.所以的分布列为01234所以的数学期望.（3）由题意可得，则，由服从正态分布，得，则，所以此次竞赛受到奖励的人数为.【点睛】此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题20. 在如图所示的多面体中，底面ABCD是菱形，BAD=120，DE/ /CF/BG，CF平面ABCD，AG/EF，且CF=2BG.（1）证明：平面；（2）若
17、菱形的边长是2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明四边形为平行四边形连接交于，连接，交于，连接，证明即可证明平面（2）解法一、证明与平面所成的角就是在中，求解与平面所成角的正弦即可解法二、以为坐标原点，分别以直线、为、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，所以.又，所以平面平面.因为，由夹在两个平行平面间的平行线段相等知，所以四边形是平行四边形.连接交于，连接，交于，连接，如图所示，易知，且，故四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面，即平
18、面.（2）方法一（几何法）：因为平面，平面，故.因为四边形是菱形，所以.又平面，平面，且，所以平面.由（1）知，所以平面，又平面，所以平面平面.因为平面平面，点平面，所以点在平面内的射影落在上，故与平面所成的角就是.易知，所以在中，所以直线与平面所成角的正弦值为.方法二（向量法）：由（1）易知，.以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则有，所以，.设平面的法向量为，由，得，令，解得，所以为平面的一个法向量.于是.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力21. 已
19、知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于、两点，且满足（1）求抛物线的方程；（2）若是抛物线上的动点，点、在轴上，圆内切于，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）本小题先设直线方程，再联立方程化简整理得到待定系数为、的关于的一元二次方程，最后根据题意建立方程求即可解题.（2）本小题先设点，再根据题意表示出只含待定系数为的，最后根据基本不等式求最值即可.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为()，则焦点的坐标为.设直线的方程为，联立方程得，消去得，所以， 因为，所以故抛物线的方程为. （2）设（），易知点、的横坐标与的横坐标均不相同.不妨设.
20、易得直线的方程为化简得，又圆心到直线的距离为1，所以，所以，不难发现，故上式可化为，同理可得，所以、可以看作是的两个实数根，则，所以因为是抛物线上的点，所以，则，又，所以，从而当且仅当时取得等号，此时，故PMN面积的最小值为8.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质以及基本不等式求最值问题，是偏难题.22. 已知函数，.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程：（2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.
21、【详解】当时，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，将式代入得，令，令，解得，当时，在递减；当时， ，在递增；所以，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用- 20 - 版权所有高考资源网
