1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 随机事件的概率 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)_为事件 A 出现的频率.(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个_附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有_.这时我们把这个常数叫作
2、随机事件 A 的概率，记作P(A).nAn常数稳定性基础诊断考点突破课堂总结2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_事件A(或称事件A包含于事件B)_(或AB)相等关系 若BA且AB _ 和事件(并事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的_(或并事件)A+B(或AB)包含BAAB 和事件基础诊断考点突破课堂总结交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_且_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件 若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 AB 对立事件 若AB为不可能事件，A
3、+B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 AB P(A+B)1 事件A发生事件B发生基础诊断考点突破课堂总结3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率P(E)_.(3)不可能事件的概率P(F)_.(4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)_.若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)_.0P(A)110P(A)P(B)1P(B)基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3)若随机事件A发生的概率为P
4、(A)，则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为()A.B.C.D.解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.中两事件是对立事件.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.(2016天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()
5、A.56B.25C.16D.13解析 设“两人下成和棋”为事件 A，“甲获胜”为事件 B.事件 A 与 B 是互斥事件，所以甲不输的概率 PP(A+B)P(A)P(B)121356.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结4.(2017威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是_.解析 由题意知，所求概率 P1712351735.答案 1735基础诊断考点突破课堂总结5.(2017长沙模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5)，2；15.5，19.5)，4；1
6、9.5，23.5)，9；23.5，27.5)，18；27.5，31.5)，11；31.5，35.5)，12；35.5，39.5)，7；39.5，43.5，3.根据样本的频率分布估计，数据落在27.5，43.5内的概率约是_.基础诊断考点突破课堂总结解析 由条件可知，落在27.5，43.5的数据有11127333(个)，故所求概率约为336612.答案 12基础诊断考点突破课堂总结考点一 随机事件间的关系【例1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事
7、件中，是对立事件的是()A.B.C.D.基础诊断考点突破课堂总结解析 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.又中的事件可以同时发生，不是对立事件.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念.互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.对立事件是特殊的互斥事
8、件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A“取出的2球同色”，B“取出的2球中至少有1个黄球”，C“取出的2球至少有1个白球”，D“取出的2球不同色”，E“取出的2 球 中 至 多 有 1 个 白 球”.下 列 判 断 中 正 确 的 序 号 为_.A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(C+E)1；P(B)P(C).基础诊断考点突破课堂总结解析 当取出的 2 个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确.当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E
9、 都发生，则不正确.显然 A 与 D 是对立事件，正确；C+E 不一定为必然事件，P(C+E)1，不正确.由于 P(B)45，P(C)35，所以不正确.答案 基础诊断考点突破课堂总结考点二 随机事件的频率与概率【例2】(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 基
10、础诊断考点突破课堂总结(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为6050200 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55.基础诊断考点突破课堂总结(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为3030200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3
11、.(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复
12、试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2015北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 基础诊断考点突破课堂总结(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 2
13、00 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 2001 0000.2.基础诊断考点突破课堂总结(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为1002001 0000.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 2001 0000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1001 0000.1.所以，如
14、果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.基础诊断考点突破课堂总结考点三 互斥事件与对立事件的概率【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/(分钟/人)1 1.5 2 2.5 3 基础诊断考点突破课堂总结已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(
15、1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.5203101001.9(分钟).基础诊断考点突破课堂总结(2)记 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得P(A1)1
16、5100 320，P(A2)30100 310，P(A3)2510014.因为 AA1+A2+A3，且 A1，A2，A3 是互斥事件，所以 P(A)P(A1+A2+A3)P(A1)P(A2)P(A3)320 31014 710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 710.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.结算时间不超过 2 分钟的事件，包括结算时间为 2 分钟的情形，否则会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
17、二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.故事件 A，B，C 的概率分别为11 000，1
18、100，120.基础诊断考点突破课堂总结(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MA+B+C.A，B，C 两两互斥，P(M)P(A+B+C)P(A)P(B)P(C)110501 000 611 000.故 1 张奖券的中奖概率为 611 000.基础诊断考点突破课堂总结(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(A+B)111 000 1100 9891 000.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1.
19、对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率P(A).2.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反).基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数.2.正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义.