1、2024/5/29专题五:平面向量 2024/5/29平面向量是高中数学的重要内容，它是衔接代数与几何的桥梁和纽带，向量、向量法在其他章节内容中的穿插、渗透和融合，是高考数学试题中的一道靓丽的风景，综观2008年全国各地高考试卷，对平面向量的考查主要包括以下三个层次：（1）考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能；（2）考查向量的坐标表示，向量的线形运算和向量的数量积；（3）和其他数学内容的“交汇”，如平面几何、曲线、函数、三角、数列等，考查逻辑推理能力和运算能力 专题备考指导及考情分析：2024/5/29（1）以选择、填空题形式出现的题目仍以向量的运算为主；（2）解答题以与三角函数、平
2、面几何、解析几何知识相结合的形式出现，此类题综合性比较强，难度较大。2024/5/29第一课时 向量的运算 考点系统整合 一、知识整合 1、主要知识点有：向量的加法、减法运算；实数与向量的积；两个向量数量积的运算以及向量的坐标表示。重点内容是：向量共线的条件；向量的加减法运算 法则；数量积 cosbaba2024/5/292、借助向量知识可以求解长度、夹角，判断平行、垂直,cos,(0)a baaab baa b等问题，依据有：,0(0,0)b aba bab这里。3,abcbaca ba b、要注意的是：若 且 不一定有 ；再者也不一定正确。4、理解向量及其有关概念；掌握向量的加法与减法；掌
3、握平面向量的数量积及其几何意义；掌握向量 的坐标运算。2024/5/29二、方法整合由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，使之成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，因此在复习时要注意类比的方法和数形结合思想、转化化归思想的应用。2024/5/29高考聚焦:22cos,1),(1,3sin 2)(,OAxOBxaxR aR ayOA OByx1、已知O为坐标原点，（是常数），若求 关于 的函数解析式f(x),并化为一个角一个名称的形式。22cos3sin 2yOA OBxxa解：2()2cos3sin 22sin(2)16f xxxaxa 2024/5/29小结:1、以三角函
4、数为载体，简单考察向量的运算，其次考察三角函数的性质，属较简单的题型。2、次种类型的题关键是计算准确f(x)，再求解其他的性质，如单调区间、对称轴、对称中心等。3、一定要辩清和的正弦值和余弦值，实践证明开头错，则下面步步错。362024/5/29211322OFOQSOF OQ、已知 OFQ的面积为S，且，若，求，的取值范围。11111sin()sin,22OF OQOFOQOF FQ COSOF FQCOSSOF FQOF FQ解：令，又2024/5/29113tan,2221tan3,0,.43SS 而，又由小结：1、向量的数量积运算及其变形运算要熟练掌握。2、正切函数的单调性，确定角的取
5、值范围问 题，仔细些，不行就作出函数的图象，确保万无一失。3、以向量为载体考察三角函数的取值范围问题，耐心细致计算即可。2024/5/29典型例题：0120071,(),21,a bOAa OBtb OCabtababxaxb例：（年安徽联考）设,是两个不共线的非零向量（tR),(1)设那么当实数为何值时，A、B、C三点共线？（2）若且 与 夹角为120，那么实数为何值时的值最小?2024/5/29(1),11(1),2211,(1),221.OCOAOBOCababtt 解：(1)02222221(2)cos,22113(),241,.2aba bax bxabxxxxaxba xb 120
6、时的值最小2024/5/29总结：共线向量定理、平面向量基本定理是解决向量共线、共面的常用工具，常用数量积解决向量长度、夹角、位置关系问题。2024/5/29213(3,1),(,),22(1)(3),(3)2ababx atbykatbxy 例2：已知平面向量证明：；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=且是求函数关系式k=f(t);根据（）的结论，确定k=f(t)的单调区间。1333(3,1)(,)02222.a bab 解析：(1)证明2024/5/2922222(2):,(3)()0(3)(3)0 xyatbkatbkak ta bta bt tb 解 由知222(3)0abkat
7、tb 上式又可化为23113,(3),().444a bkt tkf ttt把的坐标带入上式 得即2333(3)(),()0,11,4413()(,1),(1,).44()0,11,f ttf tttkf tttf tt 解令得或函数的增区间为令得2024/5/291024aba b 总结：（）考察向量垂直的充要条件；（）考察向量的加减及数乘和数量积的运算；（3）利用导数确定函数的单调区间，注意适时运用；（）注意两个单调区间中间不能用并集符号“”。313()44kf ttt函数的减区间为(-1,1)2024/5/292 33(,4),(,),4,2.2(1)2ax xbxx xxa ba ba
8、 b 例：已知向量试用 表示；（）求的最大值，并求此时的夹角。23232233(,4)(,)6.223(2)()62()336()0127(1),(2)102a bx xxxxxxf xxxxfxxxfxxxff 解：(1)设则令，得或2024/5/294,2,(4)16,(2)2,2102643102 105,cos2 1051010,arccos,1010 xffxa bababa ba b 又当时，的最大值为此时（，），（，），设的夹角为，故，的夹角为a b总结：此题给出两向量，将两向量的数量积转化为一元三次函数式，主要考查通过对函数求导来研究函数的单调性和最值问题，顺便考察向量夹角公式
9、，计算务必认真。2024/5/29分析：本题考察较为复杂的向量运算，需认真体会，三角公式不熟悉，计算易出错，是高考考察的热点。解：（1）xxxxxba2cos2sin23sin2cos23cos33(cos,sin),(cos,sin),22220 23222xxaxx bxa baba bab 例4：已知向量且,；求（1）及；（）若f(x)=的最小值是，求实数 的值。2024/5/2922)2sin23(sin)2cos23(cosxxxxbaxbaxx2cos2.0cos,2,0 xx2cos22cos22.21)(cos2)(,cos42cos)()2(22xxfxxxf即.1cos0,
10、2,0 xx2024/5/29这与已知矛盾；取得最小值当且仅当时当1,-f(x)0,cosx,0)1(221)(cos10)2(取得最小值时，时，当且仅当当xfxcos51,8x总结：（1）通过向量的数量积运算将题目转化为函数最值问题，运算细心些；（2）此题确定f(x)最值过程中，属于二次函数动轴求最值问题，的讨论由的取值范围来决定，须仔细体会并认真计算；（3）分情况讨论求出 的值时一定要注意前提条件，例如（3)中便与矛盾 增根舍去。2024/5/29的余弦值。的坐标及取最小值时上的一动点，求当是直线点），（、设平面内的向量APBOPPBPAOMpOMOBOA),1,2(),1,5(,711作业：的值。求、已知cottan)(2cos,31,21)0,cos2(),sin,(cos),cos,(sin2cabacbba_74c),3,2(),2,1(1308(3）共线，则，（与向量若向量）设向量全国理、baba2024/5/29
