1、北京市西城区2012年高三一模试卷 数 学（文科） 2012.4第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，那么（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，所以，选C.2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】输入，。，满足条件，输出，选D.3若，则下列结论正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，所以，选D.4如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答
2、案】B【解析】由复数的几何意义知，所以，对应的点在第二象限，选B.5已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，所以左视图的面积为，选A. 6若实数，满足条件 则的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】做出可行域，如图，设，则，则，由图象可知当直线经过A和C点时，Z取得最值。由题意知，此时，或，所以的最大值为5，选B.7设等比数列的前项和为则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要
3、条件【答案】C【解析】，若，则，所以。若，则，所以，即“”是“”的充要条件，选C.8已知集合，其中，且.则中所有元素之和是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】本题可转化为二进制，集合中的二进制数为，因为，所以最大的二进制数为1111，最小的二进制数1000，对应的十进制数最大为15，最小值为8，则，8到15之间的所有整数都有集合中的数，所以所有元素之和为，选C.第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量，.若，则实数_.【答案】【解析】因为，所以即所以，所以。10. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间将测试结果分成组：，得
4、到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_【答案】【解析】成绩在的学生的人数比为，所以成绩在的学生的人数为。11. 函数的最小正周期为_【答案】【解析】函数，所以周期为。12. 圆的圆心到直线的距离是_. 【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，答案为1.13. 已知函数 则的零点是_；的值域是_【答案】和，【解析】当时，由得，。当时，由，得，所以函数零点为和。当时，所以，当，所以此时，综上，即函数的值域为。14. 如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了.依
5、此类推，可由，确定，.记，.给出下列三个结论： 数列是递减数列； 对，； 若，则.其中，所有正确结论的序号是_ 【答案】 .【解析】因为三点共线，设三点坐标为则有，整理得，即，所以，所以数列是递减数列，正确，又，所以对，正确，若，则，所以，所以正确，综上 都正确。三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在中，已知 （）求角； （）若，的面积是，求【答案】（）解：由，得 3分所以原式化为 4分 因为，所以 ， 所以 6分 因为， 所以 7分 （）解：由余弦定理，得 9分 因为 ， 所以 11分因为 ， 所以 . 13分 16.（本小题满
6、分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（）班和（）班报名参加的人数分别是和现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（）班抽取了名同学（）求研究性学习小组的人数；（）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言求次发言的学生恰好来自不同班级的概率【答案】（）解：设从（）班抽取的人数为，依题意得 ，所以，研究性学习小组的人数为 5分（）设研究性学习小组中（）班的人为，（）班的人为 次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为：，共种 9分 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：，共种 12分 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为
7、13分17（本小题满分14分）如图，矩形中，分别在线段和上，将矩形沿折起记折起后的矩形为，且平面平面（）求证：平面；（）若，求证：； （）求四面体体积的最大值 【答案】（）证明：因为四边形，都是矩形， 所以 ， 所以 四边形是平行四边形，2分 所以 ， 3分 因为 平面，所以 平面 4分（）证明：连接，设因为平面平面，且， 所以 平面， 5分所以 6分 又 ， 所以四边形为正方形，所以 7分 所以 平面， 8分 所以 9分 （）解：设，则，其中由（）得平面，所以四面体的体积为 11分所以 13分当且仅当，即时，四面体的体积最大 14分18.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，一个焦点为（）
8、求椭圆的方程；（）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值【答案】（）解：设椭圆的半焦距为，则 1分 由， 得 ， 从而 4分 所以，椭圆的方程为 5分（）解：设将直线的方程代入椭圆的方程，消去得 7分由，得，且9分设线段的中点为，则， 10分由点，都在以点为圆心的圆上，得， 11分即 ， 解得 ，符合题意 13分所以 14分19.（本小题满分13分）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），记，梯形面积为 （）求面积以为自变量的函数式；（）若，其中为常数，且，求的最大值【答案】（）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为 1分点的横坐标满足方程，解得，舍去 2分所
9、以4分 由点在第一象限，得所以关于的函数式为 ， 5分（）解：由 及，得 6分记，则 8分 令，得 9分 若，即时，与的变化情况如下：极大值所以，当时，取得最大值，且最大值为 11分 若，即时，恒成立，所以，的最大值为 13分 综上，时，的最大值为；时，的最大值为 20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束 （）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设，若，且的各项之和为（）求，；（）若数列再经过次“变换”得到
10、的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由【答案】（）解：数列不能结束，各数列依次为；以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形 3分（）解：（）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项， 所以最大，即，或 5分 当时，可得 由，得，即，故7分 当时，同理可得 ， 8分 （）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；，从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最
11、小值为 13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) 所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为 13分北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（文科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分
12、，共40分.1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. 和，； 14. . 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） （）解：由，得 3分所以原式化为 4分 因为，所以 ， 所以 6分 因为， 所以 7分 （）解：由余弦定理，得 9分 因为 ， 所以 11分因为 ， 所以 . 13分 16.（本小题
13、满分13分）（）解：设从（）班抽取的人数为，依题意得 ，所以，研究性学习小组的人数为 5分（）设研究性学习小组中（）班的人为，（）班的人为 次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为：，共种 9分 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：，共种 12分 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 13分17.（本小题满分14分）（）证明：因为四边形，都是矩形， 所以 ， 所以 四边形是平行四边形，2分 所以 ， 3分 因为 平面，所以 平面 4分（）证明：连接，设因为平面平面，且， 所以 平面， 5分所以 6分 又 ， 所以四边形为正方形，所以 7分 所以 平面， 8分 所以 9分 （）
14、解：设，则，其中由（）得平面，所以四面体的体积为 11分所以 13分当且仅当，即时，四面体的体积最大 14分18.（本小题满分14分）（）解：设椭圆的半焦距为，则 1分 由， 得 ， 从而 4分 所以，椭圆的方程为 5分（）解：设将直线的方程代入椭圆的方程，消去得 7分由，得，且 9分设线段的中点为，则， 10分由点，都在以点为圆心的圆上，得， 11分即 ， 解得 ，符合题意 13分所以 14分19.（本小题满分13分）（）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为 1分点的横坐标满足方程，解得，舍去 2分所以4分 由点在第一象限，得所以关于的函数式为 ， 5分（）解：由 及，得 6分记，则 8分
15、 令，得 9分 若，即时，与的变化情况如下：极大值所以，当时，取得最大值，且最大值为 11分 若，即时，恒成立，所以，的最大值为 13分 综上，时，的最大值为；时，的最大值为 20.（本小题满分13分）（）解：数列不能结束，各数列依次为；以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形 3分（）解：（）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项， 所以最大，即，或 5分 当时，可得 由，得，即，故7分 当时，同理可得 ， 8分 （）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12因为，所以，数列经过次“变换”
16、后得到的数列为接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；，从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为 13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) 所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为 13分