1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 二项式定理 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.二项式定理(1)二项式定理：(ab)n_(nN*)；(2)通项公式：Tr1_，它表示第_项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，Cnn.C0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbnCrnanrbrr1基础诊断考点突破课堂总结2.二项式系数的性质 性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即_ 增减性二项式系数 Ckn当 kn12(nN*)时，是_的当 kn
2、12(nN*)时，是_的二项式系数最大值当 n 为偶数时，中间的一项_取得最大值当 n 为奇数时，中间的两项12Cnn与12Cnn取最大值CknCnkn递增递减2Cnn基础诊断考点突破课堂总结3.各二项式系数和(1)(ab)n 展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn_.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0nC2nC4nC1nC3nC5n_.2n2n1基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)Cknankbk 是二项展开式的第 k 项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3
3、)(ab)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关.()(4)(ab)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()基础诊断考点突破课堂总结解析 二项式展开式中 Cknankbk 是第 k1 项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(xy)n 的二项展开式中，第 m 项的系数是()A.CmnB.Cm1nC.Cm1nD.(1)m1Cm1n解析(xy)n展开式中第 m 项的系数为 Cm1n(1)m1.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结3.(教材改编)C02 017C12 01
4、7C22 017C2 0172 017C02 016C22 016C42 016C2 0162 016的值为()A.2 B.4C.2 017 D.2 0162 017解析 原式 22 01722 0161224.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结4.(2017石家庄调研)(1x)n的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n_.解析(1x)n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n216，n10.答案 10 基础诊断考点突破课堂总结5.x22x3 5展开式中的常数项为_.解析 Tk1Ck5(x2)5k2x3kCk5(2)kx105k.令 105k0，则 k2.常数项为 T3C25(
5、2)240.答案 40 基础诊断考点突破课堂总结考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例 1】已知在3 x 123 xn的展开式中，第 6 项为常数项.(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.解(1)通项公式为 Tk1Cknxnk3 12kxk3Ckn12kxn2k3.因为第 6 项为常数项，所以 k5 时，n2530，即 n10.基础诊断考点突破课堂总结(2)令102k32，得 k2，故含 x2 的项的系数是 C210122454.(3)根据通项公式，由题意102k3Z，0k10，kN，令102k3r(rZ)，则 102k3r，k532r，kN，r 应为
6、偶数.r 可取 2，0，2，即 k 可取 2，5，8，第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为454 x2，638，45256x2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2015全国卷)(x2xy)5
7、 的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60(2)(2016全国卷)(2x x)5 的展开式中，x3 的系数是_(用数字作答).解析(1)法一(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2 的系数为 C25C1330.基础诊断考点突破课堂总结法二(x2xy)5 表示 5 个 x2xy 之积.x5y2 可从其中 5 个因式中选两个因式取 y，两个取 x2，一个取x.因此 x5y2 的系数为 C25C23C1130.(2)由(2x x)5 得 Tr1Cr5(2x)5
8、r(x)r 25rCr5x5r2，令 5r23 得 r4，此时系数为 10.答案(1)C(2)10 基础诊断考点突破课堂总结考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；基础诊断考点突破课堂总结解 设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为 a0a1a10，奇数项系数和为 a0a2a10，偶数项系数和为 a1a3a5a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的
9、和为 C010C110C1010210.(2)令 xy1，各项系数和为(23)10(1)101.基础诊断考点突破课堂总结(3)奇数项的二项式系数和为 C010C210C101029，偶数项的二项式系数和为 C110C310C91029.(4)令 xy1，得到 a0a1a2a101，令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510，得 2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为15102；得 2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为15102.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，bR
10、)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可.(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4f（1）f（1）2，偶数项系数之和为 a1a3a5f（1）f（1）2.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2017铜川模拟)若二项式3x21xn的展开式中各项系数的和是 512，则展开式中的常数项为()A.27C39B.27C39C.9C49D.9C49(2)(2016绵阳模拟)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x
11、4a5x5，求|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A.1 024 B.243C.32 D.24基础诊断考点突破课堂总结解析(1)令 x1 得 2n512，所以 n9，故3x21x9的展开式的通项为 Tr1Cr9(3x2)9r1xr(1)rCr939rx183r，令 183r0 得 r6，所以常数项为 T7(1)6C693327C39.(2)令 x1 得 a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.答案(1)B(2)A 基础诊断考点突破课堂总结考点三 二项式定理的应用【例 3】(1)求证：122225n1(nN*)能被 31 整除；(2)(201
12、7安徽江南名校联考)设复数 x 2i1i(i 是虚数单位)，则 C12 017xC22 017x2C32 017x3C2 0172 017x2 017()A.i B.iC.1i D.1i基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 122225n125n12125n132n1(311)n1C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn131(C0n31n1C1n31n2Cn1n)，显然 C0n31n1C1n31n2Cn1n为整数，原式能被 31 整除.基础诊断考点突破课堂总结(2)解析 x 2i1i2i（1i）（1i）（1i）1i，C12 017xC22 017x2C32 017x3C2 0172 017
13、x2 017(1x)2 0171i2 0171i1.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设aZ，且0a13，若512 016a能被13整除，则a()A.0B.1C.11D.12 解析 512 016a(521)2 016aC 02 016522 016C12 016522 015C22 016522 014C2 0152 016521a 能被 13整除，且
14、0a13，1a 能被 13 整除，故 a12.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结思想方法1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1.通项 Tk1Cknankbk 是(ab)n 的展开式的第 k1 项，而不是第k 项，这里 k0，1，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.