1、2015年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知i是虚数单位，复数=（） A i B i C i D i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数的除法运算法则化简，求解即可【解析】： 解：复数=i故选：D【点评】： 本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查2（5分）下列命题中，真命题的是（） A xR，x20 B xR，1sinx1 C x0R，0 D x0R，tanx0=2【考点】： 特称命题；全称命题【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据含有量词的命题的判断方法即
2、可得到结论【解析】： 解：A当x=0时，x20不成立，即A错误B当x=时，1sinx1不成立，即B错误CxR，2X0，即C错误Dtanx的值域为R，x0R，tanx0=2成立故选：D【点评】： 本题主要考查含有量词的命题的真假判断，比较基础3（5分）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（） A 22 B 27 C 31 D 56【考点】： 程序框图【专题】： 图表型【分析】： 根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可【解析】： 解：第一次运行得：n=0，p=1，不满足p20，则继续运行第二次运行得：n=1，p=2，不满足p20，则继续运
3、行第三次运行得：n=2，p=6，不满足p20，则继续运行第四次运行得：n=3，p=15，不满足p20，则继续运行第五次运行得：n=4，p=31，满足p20，则停止运行输出p=31故选C【点评】： 本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，启示我们要给予高度重视，属于基础题4（5分）已知a=，b=lo，c=log2，则（） A abc B bca C cba D bac【考点】： 对数值大小的比较【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 分别判断
4、a，b，c的取值范围即可得到结论【解析】： 解：a=1，b=lo（0，1），c=log20，abc故选：A【点评】： 本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础5（5分）设an是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，若S4=5S2，则此数列的公比q的值为（） A 1 B 2 C 3 D 4【考点】： 等比数列的前n项和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 先确定q1，再利用等比数列的求和公式，可求数列an的公比q；【解析】： 解：若q=1，S4=4a1，5S2=10a1，不满足S4=5S2，故q1（2分）由S4=5S2得=5a1（1+q），a
5、n0，1+q2=5，即：q2=4，an是各项均为正数的等比数列，q=2（6分）故选：B【点评】： 本题考查等比数列的应用，数列求和，考查计算能力6（5分）设实数x，y满足条件 ，则y4x的最大值是（） A 4 B C 4 D 7【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 画出对应的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案【解析】： 解：满足约束条件的平面区域如下图所示：联立可得，即A（1，0）由图可知：当过点A（1，0）时，y4x取最大值4故选C【点评】： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是
6、解答此类问题的关键7（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线C上点，且y=x是C的一条渐近线，则C的方程为（） A 2x2=1 B x2=1 C x2=1或2x2=1 D x2=1或x2=1【考点】： 双曲线的标准方程【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由题意设双曲线方程为y22x2=（0），把点P（1，2）代入求出，从而得到双曲线方程【解析】： 解：由题意设双曲线方程为y22x2=（0），把点P（1，2）代入，得=2，双曲线的方程为y22x2=2，即故选：B【点评】： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运
7、用8（5分）已知函数f（x）=sinx+3cosx，若x1x20，且f（x1）+f（x2）=0，则|x1+x2|的最小值为（） A B C D 【考点】： 三角函数中的恒等变换应用【专题】： 三角函数的求值【分析】： 题干错误：x1x20，且f（x）+f（x2）=0，应该 x1x20，且f（x1）+f（x2）=0利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为=2sin（x），由题意可得|x1+x2|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍，求出函数f（x）的绝对值最小的零点，即可求得结果【解析】： 解：=2（sinx+cosx）=2 sin（x）=2sin（x），x1x20，且f（x
8、1）+f（x2）=0，x1+x2 等于函数的零点的2倍，|x1+x2|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍令2sin（x）=0 可得sin（x）=0，x=k，kz故函数f（x）的绝对值最小的零点为，故|x1+x2|的最小值为，故选D【点评】： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求函数的零点，体现了转化的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9（5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人
9、数为16【考点】： 分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数【解析】： 解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生本校共有学生150+150+400+300=1000，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查每个个体被抽到的概率是=，丙专业有400人，要抽取400=16故答案为：16【点评】： 本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常
10、出现在高考卷中10（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为6+4【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为6，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，可得几何体的体积【解析】： 解：由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为6，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，故几何体的体积为6+12故答案为：6+12【点评】： 本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量11
11、（5分）如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC=6，EC=6，则AD的长为【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 选作题；推理和证明【分析】： 连接DE，证明DBECBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD，根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长【解析】： 解：连接DE，ACED是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA，即有，又AB=2AC，BE=2DE，CD是ACB的平分线，AD=DE，BE=2AD，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6t）6=2
12、t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得t=或6（舍去），则AD=故答案为：【点评】： 本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=x39x，若f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，则实数k的取值范围是（，3【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 导数的综合应用【分析】： 根据导数判断出函数的单调性，求出极值，f（3）=28，f（1）=4，f（2）=3，可判断3k，2，即可求解【解析】： 解：f（x）=3x2+6x9=0，x=1，x=3，f（x）=3x2+6x90，x1或x3
13、，f（x）=3x2+6x90，3x1，f（3）=28，f（1）=4，f（2）=3，在区间k，2上的最大值为28，k3故答案为：（，3【点评】： 本题考查了导数在闭区间上的最值，判断单调性，求解切线问题，属于中档题13（5分）在ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m0，n0），则+的最小值是9【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： ，且满足（m0，n0），可得 由向量共线定理可得：m+4n=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解析】： 解：，且满足（m0，n0），P为BE上一点，由向量共线定理可得：m+4n=1+=（m+4n）（+）=5+=9，
14、当且仅当m=2n=时取等号+的最小值是9故答案为：9【点评】： 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）已知k1，函数f（x）=|2x1|k的零点分别为x1，x2（x1x2），函数g（x）=|2x1|的零点分别为x3，x4（x3x4），则（x4x3）+（x2x1）的最小值是log23【考点】： 函数的零点与方程根的关系【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 先表示出2和2，2和2，再表示出2，2，从而表示出2，求出其范围，从而求出（x4x3）+（x2x1）的范围，进而求出（x4x3）+（x2x1）的最小值【解析】： 解：x1x2，2
15、=1k，2=1+k又x3x4，2=1，2=1，2=，2=；2=；又k，1），3+最小值为3，x4x3+x2x1log23，+），【点评】： 本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）设集合A=x|x23x40，xN，B=x|2，xN*，C=（x，y）|xA，yB，在集合C中随机取出一个元素（x，y）（）写出集合C中所有元素（x，y）；（）求x+y6的概率【考点】： 几何概型；简单线性规划【专题】： 概率与统计【分析】： （）求解得出A=0，1，2，3，B=3，4，
16、5，6，7，运用列举的方法得出C=（x，y）|xA，yB中的元素，求出个数（）根据x+y6判断符合条件的基本事件及个数运用概率公式求解即可【解析】： 解：集合A=x|x23x40，xN，x|1x4，xN，即A=0，1，2，3B=x|2，xN*，B=x|2x7即B=3，4，5，6，7，（）C=（x，y）|xA，yB，集合C中所有元素：（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（0，7），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，3），（3，4），（3，5），（4，6），（5，7），共20个（）设满足x+y6
17、的事件M，（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（3，3），共11个P（M）=【点评】： 本题考查了不等式的求解，古典概率的问题，利用列举的方法求解，难度不大，关键是准确计算，按规律列举，不要漏掉，也不要重复16（13分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC（）求B的大小；（）若，求ABC的面积【考点】： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得，求得，可得B的值（
18、）由余弦定理，可得，把、 代入求得ac的值，再根据计算求得结果【解析】： 解：（）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：2（cosAcosCsinAsinC）=1，又0B，（）由余弦定理得：，又，故，【点评】： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题17（13分）如图所示，PA平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）证明：PD平面AFC；（2）若PA=1，求证：AFPC；（3）若二面角PBCA的大小为60，则CE为何值时，三棱锥FACE的体积为【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直
19、线与平面垂直的性质【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）连结AC交BD于点Q，连结FQ，利用中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，通过向量垂直即可说明线段垂直；（3）通过二面角PBCVA的大小为60求出P点坐标，从而得到F点坐标，根据体积公式计算即可【解析】： （1）证明：连结AC交BD于点Q，连结FQ，四边形ABCD是矩形，Q为AC的中点，又点F是PB的中点，PDFQ，PD平面AFC；（2）证明：以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0
20、），B（0，1，0），C（，1，0），PA=1，P（0，0，1），F（0，），=（0，），=（，1，1），=（0，）（，1，1）=0，即AFPC；（3）解：设P（0，0，t），则F（0，），则=（0，0，t），=（0，），=（0，1，t），=（，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得，令z=1，得=（0，t，1），二面角PBCVA的大小为60，且是平面ABC的一个法向量，cos60=，t=1，即=（0，），设CE=x，由三棱锥FACE的体积为，及VFABE=VFABCVFACE，可得=，解得x=22，CE=2，CE为2时，三棱锥FACE的体积为【点评】： 本题考查直线与平面平
21、行的判定，二面角的计算，棱锥的体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题18（13分）已知椭圆G：=1（ab0）的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点（）求椭圆G的标准方程；（）若|CD|=4，求点M的坐标【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）由已知条件推导出=，=1，由此能求出椭圆的方程；（）分别求出C，D的坐标，利用|CD|=4，求出直线AM的斜率，进而可求点M的坐标【解析】： 解：
22、（）G：=1（ab0）的离心率为，=，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，=1，解得a2=4，b2=1，椭圆的方程；（）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k0）由得C（4，6k）；y=k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0，设M（x0，y0），则（2）x0=，x0=，y0=，即M（，），B（2，0），直线BM的方程为y=（x2），x=4时，y=，D（4，）|CD|=|6k+|=4k0，k=或，从而M（0，1）或M（，）【点评】： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，正确求出M的坐标是关键19（14分）在数列（1）求证：数列bn是等差数列
23、，并求数列an的通项公式an；（2）设cn=，数列cncn+2的前n项和为Tn，求证：Tn3【考点】： 数列递推式；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）直接利用作差法结合数列递推式即可证明数列bn是等差数列，求出其通项公式后代入得数列an的通项公式an；（2）把数列an的通项公式an代入cn=，得到cncn+2的通项公式，然后利用裂项相消法求前n项和Tn，则答案得证【解析】： 证明：（1）bn+1bn=2，数列bn是等差数列，a1=1，bn=2+（n1）2=2n，由得，=，；（2）cn=，则cncn+2=，=33【点评】： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练
24、了裂项相消法求数列的和，是中档题20（14分）已知函数f（x）=3x（aR）（）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（）当a0时，试讨论函数y=f（x）在区间（1，1）内的极值点的个数；（）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立，求实数a的取值范围【考点】： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： （I）当a=0时，y=f（x）=3x，f（x）=2x23，可得f（3）即为切线地方斜率，又f（3）=9，利用点斜式即可得出切线的方程；（II）当a0时，f（x）=2x2
25、4ax3，=16a2+240，由f（x）=0，解得x1=0，1由x11，解得，对a分类讨论即可得出函数的极值情况（III）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立（x0）令g（x）=，x0，利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出【解析】： 解：（I）当a=0时，y=f（x）=3x，f（x）=2x23，f（3）=15，f（3）=9，曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程为y9=15（x3），化为15xy36=0（II）当a0时，f（x）=2x24ax3，=16a2+240，由f（x）=0，解得取x1=0，1由x11，解得因此，当a时，由f（x）=0，解得x=
26、x1，当a时，当x（1，x1）时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当x（x1，0）时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减此时函数f（x）取得极大值，只有一个当0时，f（x）0，此时函数f（x）在区间（1，1）内单调递减，无极值点综上可得：当a时，此时函数f（x）在区间（1，1）内取得一个极大值当0时，f（x）在区间（1，1）内无极值点（III）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立（x0）令g（x）=，x0，g（x）=，令g（x）0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得，此时函数g（x）单调递减当x=时，函数g（x）取得最大值，g（x）max=实数a的取值范围是【点评】： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题