1、宣威五中2018年春季学期期末试卷高一文科数学一、单选题1.1.已知等差数列中，若，则它的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用等差数列的性质求和.详解：由题得故答案为：D点睛：(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.(2) 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.2.2.在中，分别为角，所对的边，若，则（ ）A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形C. 一定是斜三角形 D. 一定是直角三角形【答案】D【解析】【详解】分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出C为直角，即
2、可得到三角形为直角三角形.解析：已知，利用正弦定理化简得：，整理得：， ， ，即.则为直角三角形.故选：D.点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论3.3.已知向量满足，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘
3、： 4.4.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若
4、（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为的底边的长是定值，所以三角形面积的取值范围转化为点P到直线的距离，即圆上动点到直线的距离问题.【详解】令得，令得，所以，,圆心到直线的距离，所以P到直线距离满足，即，又三角形面积， 所以 ，故选A.【点睛】圆上的动点到直线的距离问题，一般可以转化为该圆圆心到直线的距离，其范围为圆心到直线的距离加减半径，即.6.6.在中,点在线段上,且则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
5、分析】三角形所在的平面上，取为基底，利用向量的加减法可以表示出向量,从而求出.【详解】因为,所以 ，从而，故选B.【点睛】平面向量的线性运算问题，一般只需选定一组基底，其余的向量都利用这组基底表示出来，即可解决相关问题.7.7.在中，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8.8.已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出可行域
6、，根据可行域的形状，确定的最小值.【详解】作出可行域如图：观察图象可知，最小距离为点A到直线 的距离，即，故选C.【点睛】有关可行域外一定点与可行域内动点距离的最值，一般是连接可行域的顶点所得线段的长或定点到可行域边界的距离.9.9.若不等式的解集为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据“三个二次”的关系求解，先由解集得到不等式系数的值，然后再求比值详解：不等式的解集为，和是方程的解，且，解得，故选C点睛：解一元二次不等式时要结合“三个二次”的关系进行，借助图象的直观性可容易的得到不等式的解集，同时也要注意不等式解集的端点值是不等式对应的二次函数的零点、也是一元二
7、次方程的根 10.10.在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在等比数列中，由，得，所以， 则，故选A11.11.若正数a，b满足，则的最小值为（ ）A. 1 B. 6 C. 9 D. 16【答案】B【解析】分析：由得，由此可得，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值详解：正数满足，解得同理，当且仅当，即时等号成立的最小值为6故选B 点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的
8、代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等12.12.如图，在平面四边形ABCD中，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件，选取为基底，设,即可表示出，利用向量的数量积公式得到关于的函数，求其最值即可.【详解】由题意知,所以 设, 因为，所以 所以当时，有最小值,故选C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难题，解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角.二、填空题13.13.直线与直线互相平行，则实数_【答案】2【解析】，解得。14.14.在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆
9、与直线交于另一点若，则点的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.15.15.的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】【解析】分析：利用正弦定理化已知条件中的边为角，然后计算出角，再结合余弦定理求得，从而可得面积详解：，又，即，故答案为点睛：解
10、三角形问题，通常需要进行边角关系互化，在等式两边是关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式时可用正弦定理相互转化，如果题中是余弦或三边（平方）的关系可能要用余弦定理进行转化变形解题时选取恰当的公式是关键16.16.已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，则_.【答案】3027【解析】分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.详解：数列为等差数列，可设，化为，联立解得：，则，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以
11、迎刃而解.三、解答题17.17.设向量，满足及，（）求，夹角的大小（）求的值【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)根据(3a2b)27,9|a|24|b|212ab7,可得ab,再根据数量积的定义可求出cos ,进而得到夹角.(2)先求(3ab)29|a|26ab|b|293113，从而得到|3ab|.(1)设a与b夹角为，(3a2b)27,9|a|24|b|212ab7，而|a|b|1，ab，|a|b|cos ，即cos 又0，a，b所成的角为.(2)(3ab)29|a|26ab|b|293113，|3ab|.考点：考查了向量的数量积，以及利用数量积求模，夹角等知识.点评：掌握数量
12、积的定义：,求模可利用:来求解.18.18.在中，分别为角，所对的边长，已知的周长为，且的面积为.（）求边的长；（）求角的余弦值.【答案】()1；().【解析】分析：（）由三角形周长得到三边之和，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，两式联立求出AB的长即可；（）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出，利用余弦定理表示出.解析：（）在中，由正弦定理得：又的周长为，即由易得：，即边的长为1.（）由（）知：，又，得， .点睛：考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.19.19.已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（
13、2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析：（1）由中点坐标公式，可得，.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为.（2）设，联立直线与圆的方程可得，由直线与圆有两个交点可得，结合韦达定理可得， .则.解得或1，不合题意，则不存在实数使得.详解：（1）由中点坐标公式，得即，.点在圆上运动，即，整理，得.点的轨迹的方程为.（2）设，直线的方程是，代入圆.可得，由，得，且， .解得或1，不满足.不存在实数使得.点睛：与圆有关的探索问题的解决方法：第一步：假设符合要求的结论存在第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求
14、解第三步：确定符合要求的结论存在或不存在第四步：给出明确结果第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范20.20.设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为已知（1）求和；（2）若，求正整数的值【答案】（1），；（2）4【解析】【分析】（1）根据等差等比数列基本量之间的关系，列方程即可求解；（2）根据的特点采用分组求和后，解关于的方程即可.【详解】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得因为，可得，故所以，设等差数列的公差为由，可得由得从而，故，所以，（2）由（1），有由可得，整理得解得（舍），或所以n的值为4【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本量
15、之间的关系及数列求和方法中的分组求和，属于中档题.21.21.如图，等腰直角中，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为（）求函数的解析式及其定义域；（）求函数的最大值【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）；（2）由（1）可得化简得，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最大值.详解 ：（1）由题，则，又，的定义域为 （2） ，于是，即当时，的最大值为 点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数
16、的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.22.22.已知等比数列的公比，且是的等差中项，数列满足.数列的前n项和为.（1）求q的值（2）求数列的通项公式【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）利用等比数列的通项和等差中项得到关于公比的方程；（2）利用求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求和详解：（1）由是的等差中项得，所以，解得.由，得，因为，所以. （2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故， .设，所以，因此，又，所以.点睛：（1）数列的通项与前项和公式的关系是一个分段函数，一定要注意验证是否满足；（2）错位相减法是常见的求和方法，其适用于求的前项和，其中的等差数列，是等比数列