1、1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)【知识提炼】1.任意角的三角函数的定义 前 提 如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义 正弦 _叫做 的正弦，记作sin，即sin=_；余弦 _叫做 的余弦，记作cos，即cos=_；正切 _叫做 的正切，记作tan，即tan=_(x0).三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.yyxxyxyx2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin _ cos _ tan _ RRR|kkZ2 ，3.三角函数值在各象限的符
2、号 4.诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数的值_.sincostan相等【即时小测】1.判断.(1)相等的角正弦值相等，反之正弦值相等的两个角也相等.()(2)已知 是三角形的内角，则必有sin 0，cos 0.()(3)对于任意角，sin，cos，tan 都有意义.()【解析】(1)错误.相等的角正弦值相等，但是正弦值相等的两个角未必相等.(2)错误.因为是三角形的内角，所以(0，)，所以sin0，cos大于零、小于零或等于零都有可能.(3)错误.对于任意角，sin，cos都有意义，但是终边落在y轴上的角tan无意义.答案：(1)(2)(3)2.若sin 0，且tan 0，则角 是()
3、A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选D.由sin 0知角 的终边落在第三、四象限或y轴的非正半轴上，由tan 0)，如图所示 则 yxysincostan.rrx ，知识点2 三角函数值在各象限的符号 观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么？问题2：三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？【总结提升】对正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号的两点说明(1)由三角函数的定义知 (r0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.(2
4、)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，三角函数值在各象限的符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.yxysincostanrrx ，知识点3 诱导公式一 观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：诱导公式一的作用是什么？问题2：诱导公式一的结构特征是什么？【总结提升】对诱导公式一的三点说明(1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等.(2)公式一的结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为+k2，右边的角为.注意公式一中的条件kZ不可遗漏.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.【题型探究】类型一 任意角三角函数的定义及应用【典例】已
5、知角 终边经过点P(x，)(x0)，且cos=x.求sin+的值.2361tan【解题探究】本例中计算sin、cos、tan 的依据是什么？提示：依据任意角三角函数的定义，即 若角的终边上任一点P(x，y)，OP=r(r0)，则 yxysincostan.rrx ，【解析】因为P(x，)(x0)，所以点P到原点的距离 又cos=，所以cos=因为x0，所以x=，所以 当x=时，P点坐标为()，由三角函数的定义，有sin=-，所以 当x=-时，同样可求得 22rx2.3 x62x3 x.6x210r2 3.10102，6615tan ，166 56sin 5tan 66 ；1016 56sin.
6、tan 6【延伸探究】1.（变换条件）本题中点P的坐标改为(-，x)，x0，且sin =x，结果又是什么？【解析】因为P(-，x)(x0)，所以点P到原点的距离 又sin=x，所以 因为x0，所以x=，所以 52452r5x，242x2 x.45x3r2 2.当x=时，P点坐标为(），由三角函数的定义，有 所以 当x=-时，同样可求得 353，36sin 42 2，1515tan 33，16153 64 15sin tan 4312；314 153 6sin.tan 12 2.（变换条件、改变问法）若角 的终边经过点P1，且点P1到原点的距离与本题中P到原点的距离相等，试求点P1的坐标.【解析
7、】角 的终边与单位圆的交点坐标为()，所以 由已知得|OP1|=由三角函数的定义，知点P1的坐标为()，即(-3，）.56563 122，5351cossin6262，2 3，552 3cos2 3sin66，3【方法技巧】由角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤(1)已知角 的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值 在 的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)则 sin =，cos =.已知 的终边求 的三角函数值时，用这几个公式更方便(2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要
8、根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 yrxr【补偿训练】(2015临沂高一检测)已知角 的终边过点P(-3a，4a)(a0)，求2sin +cos 的值【解析】（1）若a0，则r=5a，角在第二象限 所以2 sin+cos=（2）若a0，则r=-5a，角在第四象限，所以2 sin+cos=22r(3a)(4a)5 a，y4a4x3a3sin cos r5a5r5a5 ，831.554a43a3sin cos.5a55a5 ，831.55【延伸探究】1.（变换条件）将本题中点P的坐标改为(12a，5a)(a0)，其他条件不变，结果又如何？【解析】（1）若a0，则r=13a，角是第一象限角，所以
9、 所以 22r(5a)(12a)13|a|，y5a5x12a12sin cos r13a13r13a13 ，512222sin cos 2 131313 ，（2）若a0，则r=-13a，角是第三象限角，所以 所以 y5a5x12a12sin cos r13a13r13a13 ，512222sin cos 2().131313 2.（改变条件和问法）点P的坐标改为(-8m，-6 sin 30)，且 cos =，求m的值.【解析】因为点P的坐标为(-8m，-3)，所以 所以cos=，所以m0，所以 ，解得m=，又m0.所以m=.452r64m9，28m4564m9 224m164m9251212类
10、型二 三角函数在各象限的符号问题【典例】1.已知角=2k-(kZ)，若角 与角 的终边相同，则y=的值为（）A1 B-1 C3 D-3 2.（2015南通高一检测）已知sin tan 0，那么 是第_象限角.3.如果|sin x|=sin x，那么角x的取值集合是_ sin cos tan|sin|cos|tan|5【解题探究】1.典例1中，角 的终边在第几象限？该象限内正弦、余弦、正切函数值的符号分别是什么？提示：角的终边与 的终边相同，是第四象限角.第四象限内正弦、正切函数值为负，余弦函数值为正.2.典例2中，sin tan 0包括哪些情况？正弦、正切函数值在各象限的符号有什么规律？提示：
11、sin tan 0包括sin 0，tan 0和sin 0，tan 0两种情况.正弦函数值在第一、二象限为正，在第三、四象限为负；正切函数值在第一、三象限为正，在第二、四象限为负.53.典例3中，sin x的符号是什么？角x的终边所在区域是什么？提示：sin x0，角x的终边在第一、二象限或x轴上或y轴的非负半轴上.【解析】1.选B.由=2k-(kZ)知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角的终边在第四象限，所以 sin 0，cos 0，tan 0，则实数a的取值范围是_.【解题指南】先确定角 的终边的位置，然后列出不等式组求a的取值范围.【解析】因为cos0，sin0，所以角的终边在
12、第二象限或y轴非负半轴上，因为终边过(3a-9，a+2)，所以 所以-2a3.答案：-2a3 3a90a20，【补偿训练】确定下列各式的符号.(1)sin2014.(2)cos .(3)sin4cos4.【解题指南】先确定各角所在的象限，然后判断符号.【解析】(1)2014=3605+214，所以2014为第三象限的角，所以sin20140.116(2)为第四象限的角，所以(3)4 所以4 rad为第三象限的角.所以cos 40，sin40.3()2，116 11cos0.6 类型三 诱导公式一的应用【典例】1.(2015武汉高一检测)sin(-660)=()2.已知P(2，-3)是角 终边上
13、一点，则tan(2+)等于()1313ABCD22223232A.B.CD2323【解题探究】1.典例1中，在0360内与-660终边相同的角是什么？提示：因为-660=-720+60，所以60与-660终边相同.2.典例2中，如何计算tan？tan(2+)与tan 有什么关系？提示：依据任意角的正切函数的定义计算tan.tan(2+)=tan.【解析】1.选B.sin（-660）=sin（-720+60）=sin 60=2.选C.因为P(2，-3)是角终边上一点，所以tan=所以tan(2+)=tan=3.23322 ，3.2【方法技巧】应用诱导公式一化简求值的步骤（1）将已知角化为 k36
14、0+（k为整数，0 360）或2k+（k为整数，0 2）的形式.（2）将原三角函数值化为角 的同名三角函数值.（3）借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的.【拓展延伸】公式一的意义 诱导公式一体现了三角函数值“周而复始”的变化规律，即角 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.【变式训练】sin 585的值为()【解析】选A.sin 585=sin(360+225)=sin 225.由于225是第三象限角，且终边与单位圆的交点为 所以sin 225=2233AB.CD.222222()22，2.2【补偿训练】点A(x，y)是-300角终边与单位圆的交点，则 的值为（）
15、【解析】选A.x=cos(-300)=cos(-360+60)=cos 60=y=sin(-300)=sin(-360+60)=sin 60=所以 yx33A3B3CD3312，32y3.x 易错案例 任意角三角函数定义的应用 【典例】（2015孝感高一检测）角 的终边经过点P(x，4)，且cos =，则sin =_.x5【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论.实际上本题中要分x=0和x0两种情况讨论.【自我矫正】点P(x，4)到原点的距离(1)当x=0时，r=4.由三角函数的定义，有(2)当x0时，由cos=，得 所以 =5，即r=5.由三角函数的定义，有 答案：或1 2rx16，4sin 14 ，x52xx.5x162x164sin.5 45【防范措施】1.理解定义明确关键量 在利用定义求三角函数值时，要用到角的终边上异于原点的任意一点的坐标和它到原点的距离.解题时要首先明确有关关键量.2.注意分类讨论 已知终边上一点的坐标，求三角函数值.若终边上的已知点的坐标确定，则三角函数值唯一.若终边上的已知点的坐标以参数形式给出，需判断角终边所在的位置，若不能确定，需对参数分类讨论.