1、解答题专项突破(三)数列的综合应用从近几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有：以客观题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，试题多以常规题为主；等差、等比数列的通项与求和问题；非等差、等比数列的通项与求和问题，此时常用到递推关系或转化成等差、等比的形式进行求解；与函数、不等式等进行综合考查备考时要熟练掌握等差、等比两种基本数列的通项与前n项和的求解，同时，针对性地掌握求数列通项公式与前n项和的几种常用方法针对具体问题选取针对性的解决方案进行求解热点题型1等差数列与等比数列的判定和通项问题典例1已知数列an满足a11，a2，且3(1)nan22an2(1)n10，nN*.(1)求a3，a
2、4，a5，a6的值；(2)求数列an的通项公式解题思路(1)根据(31)a32a12(11)0，(31)a42a22(11)0，(31)a52a32(11)0，(31)a62a42(11)0及a1，a2的值，求a3，a4，a5，a6.(2)递推公式中有(1)n分n为奇数和偶数讨论判断是否为等差、等比数列求通项公式规范解答(1)经计算a33，a4，a55，a6.(2)当n为奇数时，an2an2，即数列an的奇数项成等差数列，a2n1a1(n1)22n1；当n为偶数时，an2an，即数列an的偶数项成等比数列，a2na2n1n.因此，数列an的通项公式为an典例2设数列an的前n项和为Sn，nN*
3、.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列an的通项公式解题思路(1)当n2时，4S45S28S3S1，由此推出a4与a1，a2，a3的关系，求a4.(2)用anSnSn1(n2)及4Sn25Sn8Sn1Sn1推出数列an的递推公式求证为常数，其中nN*.(3)由(2)求出an1an构造等差数列，并求通项公式求an的通项公式规范解答(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，整理得a4，又a2，a3，所以a4.(2)证明：当n2时，有4Sn25Sn8Sn1S
4、n1，即4Sn24SnSn4Sn14Sn1Sn1，所以4(Sn2Sn1)4(Sn1Sn)(SnSn1)，即an2an1an(n2)经检验，当n1时，上式成立因为为常数，且a2a11，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列(3)由(2)知，an1an(nN*)，等式两边同乘2n，得2nan12n1an2(nN*)又20a11，所以数列2n1an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以2n1an2n1，即an(nN*)则数列an的通项公式为an(nN*)热点题型2数列求和典例1已知数列an的前n项和Sn2n12，记bnanSn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解题
5、思路(1)利用an求an.(2)先由bnanSn，求bn并整理，再依据bn的结构形式选择求和方法规范解答(1)Sn2n12，当n1时，a1S121122，当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1221，an2n.(2)由(1)知，bnanSn24n2n1，Tnb1b2bn2(41424n)(22232n1)24n12n2.典例2(2019河北邯郸一模)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22.(1)求TnSn；(2)求数列的前n项和Rn.解题思路(1)TnSn转化为数列bnan的前n项和分组求和(2)求Sn求an求bn求用错位相减法求和规范解答
6、(1)依题意可得b1a13，b2a25，bnan2n1，TnSn(b1b2bn)(a1a2an)(b1a1)(b2a2)(bnan)n(2222n)2n1n2.(2)2SnSnTn(TnSn)n2n，Sn，ann1.又bnan2n1，bn2nn，1，Rnn，则Rnn，Rnn，故Rnn2n2.热点题型3数列与不等式的综合问题角度1数列中不等式的证明(2019山西大学附中模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnan2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn4.解题思路(1)先根据2Snnan2an1和anSnSn1(n2)，推出数列an的递推公式，再求an
7、.(2)根据的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明Tn4.规范解答(1)解法一：当n1时，2S1a12a11，所以a11.当n2时，2Snnan2an1，2Sn1(n1)an12an11.，得2annan(n1)an12an2an1，所以nan(n1)an1.所以.所以，即an.当n1时，a11也满足此式故数列an的通项公式为an.解法二：当n1时，2S1a12a11，所以a11.当n2时，2Snnan2an1，2Sn1(n1)an12an11.，得2annan(n1)an12an2an1，所以nan(n1)an1.所以.所以ana11.当n1时，a11也满足此式故数列
8、an的通项公式为an.(2)证明：由(1)得an，所以4，所以Tn442nn2对一切nN*恒成立，求实数的取值范围解题思路(1)求证an1an为常数，其中nN*.(2)累加法求an分离变量把已知不等式变形为f(n)的形式求f(n)的最大值，得的取值范围规范解答(1)因为an1an2(bn1bn)，bn3n5，所以an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6，所以an是等差数列，首项为a11，公差为6，即an6n5.(2)因为bn2n，所以an1an2(2n12n)2n1.当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12.当n1时，a16，符合上式，所以an
9、2n12，由an2nn2，得.又0，所以，当n1,2时，取得最大值，故的取值范围为.热点题型4数列与函数的综合问题(2019曲靖模拟)已知函数f(x)2019sin(xR)的所有正零点构成递增数列an(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2n，求数列bn的前n项和Tn.解题思路(1)解方程f(x)0，求出函数f(x)的全部零点，并判断由所有正零点构造的递增数列an是否为等差(或等比)数列，最后求出通项公式(2)依据第(1)问的结论，化简bn，选择适当的求和方法求Tn.规范解答(1)由f(x)2019sin0，得xk(kZ)，所以函数f(x)的全部零点为xk(kZ)因为函数f(x)的全部正零点构成等差数列an，所以其首项为，公差为1，则数列an的通项公式为ann(nN*)(2)由(1)知bn2nn2n，则Tn121222323(n1)2n1n2n，所以2Tn122223324(n1)2nn2n1.，得Tn2122232nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Tn(n1)2n12.