1、第6讲对数与对数函数考纲解读1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数.考向预测从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点预测2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒
2、成立问题呈现.1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN(a0，且a1)；logaaNN(a0，且a1)；零和负数没有对数(2)对数的运算法则(a0，且a1，M 0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图象与性质函数ylogax(a0，且a1)图象a10a0，且a1)性质定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(
3、0，)上是减函数函数值变化规律当x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x04反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1概念辨析(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)若a，b均大于零且不等于1，则logab.()(3)函数ylogax2与函数y2logax是相等函数()(4)若MN0，则logaMlogaN.()(5)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)已知函数yloga(xc)(a
4、，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1答案D解析由选项可知，只需研究c0的情况ylogax的图象向左平移c个单位可得函数yloga(xc)的图象，结合图象可知0a1,0c1.(2)若alog0.20.3，blog0.20.4，c20.2，则()Aabc BbacCbca Dacb答案B解析因为ylog0.2x是减函数，所以log0.20.2log0.20.3log0.20.4，即1ab.又c20.2201，所以bac.(3)有下列结论：lg (lg 10)0；lg (ln e)0；若lg x1，则x10；若log2
5、2x，则x1；若logmnlog3m2，则n9.其中正确结论的序号是_答案解析lg (lg 10)lg 10，故正确；lg (ln e)lg 10，故正确；正确；logmnlog3mlog3mlog3n2，故n9，故正确(4)若函数yf(x)是函数y2x的反函数，则f(2)_.答案1解析由已知得f(x)log2x，所以f(2)log221.题型一对数式的化简与求值1计算log29log342log510log50.25等于()A0 B2 C4 D6答案D解析log29log342log510log50.252log23log5(1020.25)426.2设2a5bm，且2，则m等于()A. B
6、10 C20 D100答案A解析由2a5bm，得alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102，所以m.3已知log189a,18b5，则用a，b表示log3645_.答案解析因为log189a,18b5，所以log185b，于是log3645.4(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，则x0.当x0，且a1)对题目条件进行转化如举例说明2.利用换底公式化为同底数的对数运算如举例说明3.(2)恒等式：关注loga10，logaaNN，alogaNN的应用如举例说明4.(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简如举例说明3.(4)合并：将
7、对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算如举例说明1.1.(2019山东省实验中学模拟)已知正实数a，b，c满足log2alog3blog6c，则()A.abc Bb2ac Ccab Dc2ab答案C解析设log2alog3blog6ck，则a2k，b3k，c6k，所以ab2k3k(23)k6kc.2.计算(lg 2)2lg 2lg 50lg 25的结果为_.答案2解析原式lg 2(lg 2lg 50)lg 52lg 2lg 1002lg 52(lg 2lg 5)2lg 102.3.设35x49，若用含x的式子表示log535，则lo
8、g535_.答案解析因为35x49，所以xlog3549，解得log535.题型二对数函数的图象及应用1.(2019浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a0，且a1)的图象可能是()答案D解析当0a1时，函数yax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数yloga的图象过定点，在上单调递增显然A，B，C都不符合故选D.2.当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B.C.(1，) D(，2)答案B解析构造函数f(x)4x和g(x)logax，要使0x时，4xlogax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可当
9、a1时不满足条件；当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知只需fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.条件探究1将本例变为：若方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围是_.答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得0a.条件探究2将本例变为：若不等式x2logax0对x恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1时，图象上升；
10、0a1时，图象下降如举例说明1.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0cd1a1和0a0且a1，b0且b1)，则函数f(x)ax与g(x)logbx的图象可能是()答案B解析因为lg alg b0，所以lg (ab)0，所以ab1，即b，故g(x)logbxlogxlogax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，结合图象知，B正确.2.设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_.答案(0,1)解析由图象可知0a1b10，又|lg a|lg b|c，所以lg ac，lg bc，即l
11、g alg b，lg alg b0，所以ab1，于是abcc，而0c1.故abc的取值范围是(0,1).题型三对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小1.(2019天津高考)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A.acb BabcC.bca Dcab答案A解析因为ylog5x是增函数，所以alog52log0.50.51.因为y0.5x是减函数，所以0.50.51c0.50.20.501，即0.5c1.所以acf(a)，则实数a的取值范围是()A.(1,0)(0,1)B.(，1)(1，)C.(1,0)(1，)D.(，1)(0,1)答案C解析若a
12、0，则log2aloga，即2log2a0，所以a1.若alog2(a)，即2log2(a)0，所以0a1，所以1a0，2ax在区间0,1上是减函数ylogau应为增函数，且u2ax在区间0,1上应恒大于零，1alogab借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解3解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论如举例说明3.(2)底数与1的大小关系(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.1(2019遵义模拟)已知alog26，blog515，clog
13、721，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCcab Dbca答案B解析因为alog26log242，blog5151log53，clog7211log73，又log37log351，所以1，即log73log531，所以cb2a.2函数y的定义域是()A1,2 B1,2)C. D.答案D解析要使函数解析式有意义，须有log (2x1)0，所以02x11，所以f(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34)又log341220，且函数f(x)在(0，)单调递减，所以f(log
14、34)f(2)f(2)故选C.典例3(2019成都模拟)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是2，)，则实数a的取值范围是()A(0,1) B(1，C(1，) D.答案B解析(1)当x2时，x3232.(2)当x2时，若0a1，则logaxloga2，因为函数f(x)的值域为2，)，所以loga22logaa2,2a2，解得1a .方法指导1.与对数函数性质有关的问题.首先要关注函数的定义域问题.2.指数函数yax(a0，a1)、对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意分a1与0a1两种情况来研究.3.比较大小问题.可以利用函数的单调性、引入中间量、有时也可用数形结合的方法.