1、立体几何中的向量方法（）-证明平行与垂直一、选择题1若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确答案B2直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()As1(1,1,2)，s2(2，1,0)Bs1(0,1，1)，s2(2,0,0)Cs1(1,1,1)，s2(2,2，2)Ds1(1， 1,1)，s2(2,2，2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直答案B3已知a，b满足ab，则等于()A. B. C D解析由，可知.答案B4若直线l的方向向量为a，平面的法向量
2、为n，能使l的是 ()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.答案D5若平面，平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()An1(1,2,3)，n2(3,2,1)Bn1(1,2,2)，n2(2,2,1)Cn1(1,1,1)，n2(2,2,1)Dn1(1,1,1)，n2(2，2，2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.答案D6已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，
3、b，c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，.答案D7已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B.C. D.解析 对于选项A，(1,0,1)，则n (1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，验证可知C、D均不满足n0.答案 B二、填空题8两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_解析v22v1，v1v2.答案平行9平面的一个法向量n(0,1，1)，如果直线l平面，则直线
4、l的单位方向向量是s_.解析 直线l的方向向量平行于平面的法向量，故直线l的单位方向向量是s.答案 10已知点A，B，C平面，点P，则0，且0是0的_解析由，得()0，即0，亦即0，反之，若0，则()0，未必等于0.答案充分不必要条件11已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_解析设平面ABC的法向量n(x，y，z)则即令z1，得n，平面ABC的单位法向量为.答案12已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_解析 由题知：，.所以即解得x，y，z4.答案 ，4三、解答题13已知：a(x,4,1)，b(2，y，1)
5、，c(3，2，z)，ab，bc，求：a，b，c.解析因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2) 14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD. 证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是， 设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，
6、1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二()，又MN与DA1不共线，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.15如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的坐标系，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)所以，故、共面又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面(2)如图，设M(0,0，z)，则，而(0,3,2)，由题设得3z20
7、，得z1.因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，故ME平面BCC1B1.16如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为、(0,0, 1).又点A、M的坐标分别是(，0)、.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.